Bất phương trình vô tỷ 47_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt{x^{2}-8x+15}\leq \sqrt{4x^{2}-18x+18}-\sqrt{x^{2}+2x-15}$$
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}
   {{x}^{2}}-8x+15\ge 0  \\
   4{{x}^{2}}-18x+18\ge 0  \\
   {{x}^{2}}+2x-15\ge 0  \\
\end{matrix} \right.\iff \left[ \begin{matrix}
   x\le -5  \\
   x\ge 5  \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó ta đặt $a=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+15}\ge 0,b=\sqrt{{{x}^{2}}+2x-15}\ge 0$ thì $4{{x}^{2}}-18x+18=\frac{13}{5}{{a}^{2}}+\frac{7}{5}{{b}^{2}}$.

Do đó phương trình trở thành:

$$a+b\le \sqrt{\frac{13}{5}{{a}^{2}}+\frac{7}{5}{{b}^{2}}}$
$\iff 8{{a}^{2}}-10ab+2{{b}^{2}}\ge 0$$

Nếu $b=0$ thì ${{a}^{2}}\ge 0,\forall a$ nên nghiệm trong trường hợp này là $x=-5$.

Xét $b>0$, chia hai vế cho ${{b}^{2}}$ thì bất phương trình trở thành:

$$4{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-5\frac{a}{b}+1\ge 0 \iff \left[ \begin{matrix}
   \frac{a}{b}\le \frac{1}{4}  \\
   \frac{a}{b}\ge 1  \\
\end{matrix} \right.$$