Bất phương trình vô tỷ _LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} }} > x$$

Điều kiện $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{5}{3}} } \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{5}{3}} ; + \infty } \right)$.
Khi đó biến đổi bất phương trình trở thành
$$\sqrt {{x^2} + 1}  - x > \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} > \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} }} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + x < \sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} $$
$$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  + \frac{8}{3} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{8}{3} <  - 2x\sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^4} + \frac{{64}}{9} + \frac{{16}}{3}{x^2} < 4{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)
\end{array} \right.$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
3{x^4} - \frac{4}{3}{x^2} - \frac{{64}}{9} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
\left( {3{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} - \frac{{16}}{9}} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - \frac{4}{3}$$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $x <  - \frac{4}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right)$

Bất phương trình vô tỷ _LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình
$$x\left(x^{2}+4 \right)+\left(\sqrt{x-1}+1 \right)^{2}\geq \left(x^{2}+1 \right)\sqrt{10-x}$$

Điều kiện $1 \le x \le 10$.

Khi đó biến đổi bất phương trình thành: $${x^3} + 5x + 2\sqrt {x - 1}  \ge \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {10 - x} $$
Sử dụng cô si cho vế phải ta được
$$VP = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {10 - x}  = \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\sqrt {9\left( {10 - x} \right)}  \le \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\frac{{9 + 10 - x}}{2} = \frac{{\left( {19 - x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{6}$$
Suy ra $$VT - VP \ge \frac{{6{x^3} + 30x - \left( {19{x^2} + 19 - {x^3} - x} \right)}}{6} + 2\sqrt {x - 1}  = \frac{{7{x^3} - 19{x^2} + 31x - 19}}{6} + 2\sqrt {x - 1} $$
$$ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {7{x^2} - 12x + 19} \right)}}{6} + 2\sqrt {x - 1}  \ge 0,\forall x \ge 1$$
 Do đó bất phương trình luôn đúng với $x \ge 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;10} \right]$.

Tích phân 1_LTĐH

Bài toán . Tính tích phân:
$$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{lnx}{x^2+1+x\sqrt{x^2+2}}dx $$
Bài toán này nhìn đẹp mắt và việc giải quyết nó cũng không khó khăn lắm, nhưng với thi đại học thì hơi nặng với các em

Chỉ cần để ý ${\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)^2} = 1$
Suy ra \[I = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)\ln xdx} \]
Có dạng quen thuộc của tích phân từng phần, chúng ta đặt như sau:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \int {\left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx}  = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x - \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right)
\end{array} \right.$.
Suy ra $I = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x - \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right).\ln x\left| \begin{array}{l}
\sqrt 6 \\
\sqrt 2
\end{array} \right. - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\left( {\frac{{{x^2}}}{3} + 1 - \frac{{{x^2} + 2}}{{3x}}.\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx} $.
Ta chỉ cần chú ý tích phân  \[\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\frac{{{x^2} + 2}}{{3x}}.\sqrt {{x^2} + 2} dx} \], bằng phép đặt $t = \sqrt {{x^2} + 2} $là xong.

Hệ phương trình 6_LTĐH

Bài toán.Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}

{x^2} + {y^2} = 3x - 4y + 1\\

3{x^2}\left( {{x^2} + 9} \right) - 2{y^2}\left( {{y^2} + 9} \right) = 18\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 2{y^2}\left( {7 - y} \right) + 3

\end{array} \right.$$

Giải.

Cách 1. Biến đổi hệ về dạng $\left\{\begin{matrix}

 (x^2-3x)+(y^2+4y)=1 \\ 

 3(x^2-3x)^2-2(y^2+4y)^2=3

\end{matrix}\right.$

Đến đây đặt ẩn phụ là xong.

Cách 2. Biến đổi hệ trở thành

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{y^2} + 4y + 2 = 3x - {x^2} + 3\\

2\left( {{y^4} + 8{y^3} + 16{y^2}} \right) = 3\left( {{x^4} - 6{x^3} + 9{x^2} - 1} \right)

\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{y^2} + 4y + 2 = 3x - {x^2} + 3\\

2\left( {{y^4} + 8{y^3} + 16{y^2} + 8\left( {{y^2} + 4y + 2} \right)} \right) = 3\left( {{x^4} - 6{x^3} + 9{x^2} - 1} \right) + 16\left( {3x - {x^2} + 3} \right)

\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{\left( {y + 2} \right)^2} = 3x - {x^2} + 5\\

2{\left( {y + 2} \right)^4} = 3\left( {{x^4} - 6{x^3} + 9{x^2} - 1} \right) + 16\left( {3x - {x^2} + 3} \right)

\end{array} \right.\].

Bất phương trình vô tỷ _LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt {25 - \left( {x + 1} \right)\sqrt {4 - \left( {x - 11} \right)\sqrt {1 + \left( {x - 6} \right)\left( {x - 8} \right)} } }  \le \frac{{9x - 18 - {x^2}}}{2}$$.

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC

MÔN TOÁN ; Khối: A,A1

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y = 2x^3 – 3mx^2 + (m-1)x + 1\,\,\left( 1 \right),\,\,\,m$ là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m=1$.
2. Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+1$ cắt đồ thị hàm số $(1)$ tại ba điểm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 3x + \cos 2x - \sin x =0$.

Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình $2\log_2x+\log_{\frac{1}{2}}(1-\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(x – 2\sqrt{x}+2)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx$

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $\widehat{BAD}=120^o$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $\widehat{SMA}=45^o$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $xy \leq y - 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P = \frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$$

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $M\left( -\frac{9}{2};\frac{3}{2} \right)$ là trung điểm cạnh $AB$, điểm $H(-2;4)$ và điểm $I(-1;1)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và tâm đường trong ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(-1;-1;-2), B(0;1;1)$ và mặt phẳng $\left( P \right) : x + y +z-1= 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$.
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+i)(z-i)+2z=2i$. Tìm môđun của số phức $w= \frac{\overline z – 2z + 1}{z^2}$.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right): (x-1)^2+(y-1)^2 = 4$ và đường thẳng $\Delta :y-3=0$. Tam giác $MNP$ có trự tâm trùng với tâm của $\left( C \right)$, các đỉnh $N$ và $P$ thuộc $\Delta$, đỉnh $M$ và trung điểm cạnh $MN$ thuộc $\left( C \right)$. Tìm tọa độ điểm $P$.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( -1; 3;-2 \right)$ và mặt phẳng $(P): x -2y -2z+5 = 0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$
---Hết--

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2013

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 

MÔN TOÁN ; Khối: B

Câu 1. Cho hàm số : $y=2x^3-3(m+1)x^2+6mx (1)$, với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng Ab vuông góc với đường thẳng $ y = x +2$

Câu 2. Giải phương trình : $$\sin 5x + 2\cos^2 x =1$$

Câu 3. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\\4x^2-y^2+x+4 = \sqrt{2x+y} + \sqrt{x+4y} \end{cases}$$

Câu 4. Tính tích phân : $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{2-x^2} dx$

Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Câu 6 . Cho a, b ,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$$P= \dfrac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}} - \dfrac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$$

Câu 7a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường  chéo vuông góc với nhau và $AD = 3BC$. Đường thẳng BD có phương trình $x+2y-6 =0$ và tam giác ABD có trực tâm là $H(-3;2)$. Tìm tọa độ đỉnh C và D

Câu 8a. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0) và mặt phẳng $(P) : 2x+3y-z-7=0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P).

Câu 9a. Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi lấy ra có cùng màu.

Câu 7b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là $H(\dfrac{17}{5} ; \dfrac{-1}{5} )$, chần đường phân giác trong của góc A là D(5;3) và trung điểm của cạnh AB là M(0;1). TÌm tọa độ đỉnh C.

Câu 8b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;-1;1), B(-1;2;3) và đường thẳng $\Delta: \dfrac{x+1}{-2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z-3}{3}$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và $\Delta$

Câu 9b. Giải hệ phương trình : $\begin{cases} x^2+2y =4x-1 \\ 2\log_3 (x-1) - \log_{\sqrt{3}} (y+1) =0 \end{cases}$

Hệ phương trình 5_LTĐH

Bài toán. Giải hệ phương trình 
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 - 16{y^2}}  - \sqrt {1 - 16{x^2}}  = 2\left( {x + y} \right)\\
{x^2} + {y^2} + 4xy = \frac{1}{5}
\end{array} \right.$

Giải. Điều kiện $\left| x \right| \le \frac{1}{4},\left| y \right| \le \frac{1}{4}$. Khi đó nhân liên hợp biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng
$16\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2\left( {x + y} \right)\left( {\sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}} } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - y\\
8\left( {x - y} \right) = \sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}}
\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: Với $x =  - y$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có phương trình:
$2{x^2} - 4{x^2} = \frac{1}{5}$, phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

Trường hợp 2: Với $8\left( {x - y} \right) = \sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}} $, khi đó cùng với phương trình thứ hai của hệ ta đưa về giải hệ:
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 4xy = \frac{1}{5}\\
8\left( {x - y} \right) = \sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 4xy = \frac{1}{5}\\
x \ge y\\
64{\left( {x - y} \right)^2} = 2 - 16\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\sqrt {1 - 16\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5} - 4xy\\
x \ge y\\
64\left( {\frac{1}{5} - 6xy} \right) = 2 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 2\sqrt {1 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right.$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5} - 4xy\\
x \ge y\\
7 - 240xy = \sqrt {1 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5} - 4xy\\
x \ge y\\
xy \le \frac{7}{{240}}\\
7 - 240xy = \sqrt {1 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right.$.

Đến đây đơn giản rồi!

Phương trình vô tỷ 6_LTĐH

Bài toán. Giải phương trình $$2\left( {2\sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {1 - {x^2}} } \right) - \sqrt {1 - {x^4}}  = 2\sqrt 2 {x^2} + 1$$

Phương trình vô tỷ 5_LTĐH

Bài toán. Giải phương trình $$\frac{{1 + \sqrt {{x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 17} }}{{1 + \sqrt {{x^4} - 8{x^3} + 16{x^2} + 1} }} = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - 1$$.

Phương trình vô tỷ 4_LTĐH

Bài toán. Giải phương trình $$\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {2x + 7}  - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 14{x^2} - 2x + 22$$
Giải. Điều kiện: $x \ge 1$.

Ta nhẩm được nghiệm $x = 1$nên nghĩ tới trục căn thức, nên thêm vào hai vế của phương trình đại lượng $ - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)$ta được:
$$\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {2x + 7}  - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 14{x^2} - 2x + 22 - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\left( {\sqrt {2x + 7}  - 3} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 5{x^2} - 8x + 1$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)}}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 1} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
\frac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} = \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right) + \left( {2{x^2} + 7x - 1} \right)\sqrt {x - 1} {\rm{ }}(1)
\end{array} \right.$$
Tới đây để ý:
$$\frac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} \le \frac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{3 + 3}} = \left( {{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}} \right)\sqrt {x - 1}  \le \left( {2{x^2} + 7x - 1} \right)\sqrt {x - 1} ,\forall x \ge 1$$
và $3{x^2} - 7x + 26 > 0,\forall x \ge 1$. Do đó phương trình $(1)$vô nghiệm.
Do vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.