Bài toán. Giải bất phương trình $$\frac{{\sqrt {5{x^2} - 26x - 44} - \sqrt {{x^2} + x - 2} - \sqrt {x - 6} }}{{6 - \sqrt {{x^3} - 6{x^2} + 2x} }} < 0$$.
Giải. Điều kiện: $x \ge \frac{{13 + \sqrt {389} }}{5}$.
Khi đó hàm số $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 2x$ tăng trên $\left[ {\frac{{13 + \sqrt {389} }}{5}; + \infty } \right)$.
Suy ra $6 - \sqrt {{x^3} - 6{x^2} + 2x} \le 6 - \sqrt {f\left( {\frac{{13 + \sqrt {389} }}{5}} \right)} < 0$.
Khi đó bất phương trình tương đương với:
$$\sqrt {5{x^2} - 26x - 44} - \sqrt {{x^2} + x - 2} - \sqrt {x - 6} > 0$$
$$ \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} - 26x - 44} > \sqrt {x - 6} + \sqrt {{x^2} + x - 2} $$
$$ \Leftrightarrow 5{x^2} - 26x - 44 > x - 6 + {x^2} + x - 2 + 2\sqrt {\left( {x - 6} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x - 18 > \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - 12} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 4x - 12} \right) - 6\left( {x - 1} \right) > \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - 12} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow 2.\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}} - 6 > \sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}}} $$
$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}}} - 2} \right)\left( {2\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}} + 3} } \right) > 0$$
$$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}}} > 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 > 4\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 8 > 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} > 24 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 4 + 2\sqrt 6 \\
x < 4 - 2\sqrt 6
\end{array} \right.$$
Kết hợp với điều kiện suy ra $x > 4 + 2\sqrt 6 $.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {4 + 2\sqrt 6 ; + \infty } \right)$.
Thứ Sáu, 28 tháng 6, 2013
Bất phương trình vô tỷ 54_LTĐH
Bài toán(DỰ BỊ A,A1 2012) Giải bất phương trình
$$\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x+2}\le 3\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}.$$
Giải.Biến đổi bất phương trình thành
$$\sqrt {2{x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + 4} + \sqrt {2{x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 4} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} \le 6$$.
$$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} \le 6$$.
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức $\sqrt {{m^2} + {n^2}} + \sqrt {{p^2} + {q^2}} \ge \sqrt {{{\left( {m + p} \right)}^2} + {{\left( {n + q} \right)}^2}} $, suy ra
$$\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} $$.
$$ \ge \sqrt {{{\left( {2x + 2} \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {4{x^2} + 8x + 16} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} $$.
Tới đây xét hàm số $f(x) = \sqrt {4{x^2} + 8x + 16} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} $.
Ta có $$f'(x) = \frac{{4x + 4}}{{\sqrt {4{x^2} + 8x + 16} }} + \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {2{x^2} - 4x + 4} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0$$.
Lập bảng biến thiên suy ra $f(x) \ge f(0) = 6$.
Từ đó suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.
$$\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x+2}\le 3\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}.$$
Giải.Biến đổi bất phương trình thành
$$\sqrt {2{x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + 4} + \sqrt {2{x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 4} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} \le 6$$.
$$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} \le 6$$.
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức $\sqrt {{m^2} + {n^2}} + \sqrt {{p^2} + {q^2}} \ge \sqrt {{{\left( {m + p} \right)}^2} + {{\left( {n + q} \right)}^2}} $, suy ra
$$\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} $$.
$$ \ge \sqrt {{{\left( {2x + 2} \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} = \sqrt {4{x^2} + 8x + 16} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} $$.
Tới đây xét hàm số $f(x) = \sqrt {4{x^2} + 8x + 16} + \sqrt {2{x^2} - 4x + 4} $.
Ta có $$f'(x) = \frac{{4x + 4}}{{\sqrt {4{x^2} + 8x + 16} }} + \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {2{x^2} - 4x + 4} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0$$.
Lập bảng biến thiên suy ra $f(x) \ge f(0) = 6$.
Từ đó suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.
Ta có thể chứng minh được(bình phương hai vế) bất đẳng thức:
$$\sqrt {{x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + 2} + \sqrt {{x^2} + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2} + \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \le \sqrt {9{x^2} + 18} $$
$$\sqrt {{x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + 2} + \sqrt {{x^2} + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2} + \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \le \sqrt {9{x^2} + 18} $$
Thứ Năm, 27 tháng 6, 2013
Bất phương trình vô tỷ 53_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
Giải. Điều kiện: $x \ge 0$. Khi đó trục căn thức đưa bất phương trình về dạng:
$$\frac{{{{\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right)}^2}}}{{24}} < \frac{{27{{\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}^2}}}{{{{8.12}^2}}}$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)^2} > \frac{{16}}{9}{\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right)^2} \Leftrightarrow 3\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right) > 4\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right)$$
$$ \Leftrightarrow 3\left( {24 + 2x - 2\sqrt {{x^2} + 24} } \right) > 8\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right) \Leftrightarrow 3{\left( {\sqrt {x + 24} - \sqrt x } \right)^2} > \frac{{8.24}}{{\sqrt {x + 24} - \sqrt x }}$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 24} - \sqrt x } \right)^3} > {8^2} \Leftrightarrow \sqrt {x + 24} - \sqrt x > 4 \Leftrightarrow \sqrt {x + 24} > \sqrt x + 4$$
$$ \Leftrightarrow x + 24 > x + 16 + 8\sqrt x \Leftrightarrow x < 1$$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $0 \le x < 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {0,1} \right)$.
$$\frac{{\sqrt {x + 24} + \sqrt x }}{{\sqrt {x + 24} - \sqrt x }} < \frac{{27\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}}{{8\left( {12 + x + \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}}$$
Giải. Điều kiện: $x \ge 0$. Khi đó trục căn thức đưa bất phương trình về dạng:
$$\frac{{{{\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right)}^2}}}{{24}} < \frac{{27{{\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}^2}}}{{{{8.12}^2}}}$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)^2} > \frac{{16}}{9}{\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right)^2} \Leftrightarrow 3\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right) > 4\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right)$$
$$ \Leftrightarrow 3\left( {24 + 2x - 2\sqrt {{x^2} + 24} } \right) > 8\left( {\sqrt {x + 24} + \sqrt x } \right) \Leftrightarrow 3{\left( {\sqrt {x + 24} - \sqrt x } \right)^2} > \frac{{8.24}}{{\sqrt {x + 24} - \sqrt x }}$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 24} - \sqrt x } \right)^3} > {8^2} \Leftrightarrow \sqrt {x + 24} - \sqrt x > 4 \Leftrightarrow \sqrt {x + 24} > \sqrt x + 4$$
$$ \Leftrightarrow x + 24 > x + 16 + 8\sqrt x \Leftrightarrow x < 1$$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $0 \le x < 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {0,1} \right)$.
Bất đẳng thức 3_LTĐH
Bài toán. Cho các số thực dương $x,y,z$thỏa mãn $xyz
= 1$. Chứng minh rằng
$$P =
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{{13}}{{x + y + z + 1}} \ge
\frac{{25}}{4}$$.
Hệ phương trình 4_LTĐH
Bài toán . Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - xy + 4y + 1 = 0\\
y\left( {7 - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + 1} \right)
\end{array} \right.,\left( {x,y \in R } \right)$$
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - xy + 4y + 1 = 0\\
y\left( {7 - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + 1} \right)
\end{array} \right.,\left( {x,y \in R } \right)$$
Thứ Tư, 26 tháng 6, 2013
ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI A, A1 2012
Email: dangnamneu@gmail.com Mobile: 0976 266 202
Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1.$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho.
2. Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua $M(-2;3)$ với hệ số góc $k.$ Tìm $k$ để đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại ba giao điểm đó cắt nhau tạo thành tam giác vuông.
Câu 2(1,0 điểm) Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+2\cos x-\cos 2x-1=0.$
Câu 3(1,0 điểm) Giải bất phương trình
$$\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x+2}\le 3\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}.$$
Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân $$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( \sin 2x+\cos x+1 \right)+\left( 2x\cos x+1 \right)\ln x}{\sin x+x\ln x}dx}$$
Câu 5(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Mặt bên $SAD$ là tam giác đều và $SB=a\sqrt{2}$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AB$. Gọi $H$ là giao điểm của $FC$ và $EB$. Chứng minh $SE\bot EB,CH\bot SB$ và tính thể tích khối chóp $C.SEB.$
Câu 6(1,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=ab+bc+ca-2abc$.
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(4,3).$ Đường thẳng $\left( d \right):x-y-2=0$ và $\left( d' \right):x+y-4=0$ cắt nhau tại $M$. Tìm $B\in \left( d \right)$ và $C\in \left( d' \right)$ sao cho $A$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBC.$
Câu 8a(1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng $\left( P \right):3x-2y-3z-7=0$ và cắt đường thẳng $\left( d \right):\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}.$
Câu 9a(1,0 điểm) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức $z'=\left( 1+i\sqrt{3} \right)z+2$ biết rằng số phức z thỏa mãn $\left| z-1 \right|\le 2.$
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(1;-1)$ và hai đường thẳng có phương trình $\left( {{d}_{1}} \right):x-y-1=0,$ $\left( {{d}_{2}} \right):2x+y-5=0.$ Gọi $A$ là giao của hai đường thẳng trên. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $M,$ cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $ABC$ là tam giác có $BC=3AB.$
Câu 8b(1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$ và đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right):\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}.$ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc $\left( {{d}_{1}} \right)$, bán kính bằng 5, đồng thời cắt $\left( {{d}_{2}} \right)$tạo thành một dây cung có độ dài lớn nhất.
Câu 9b(1,0 điểm) Trong khai triển nhị thức Niutơn ${{\left( 2+\frac{1}{x} \right)}^{n}}$, hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{{x}^{2}}}$ gấp đôi hệ số của số hạng thứ hai. Tìm hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{{x}^{4}}}$ và tính tổng hệ số của tất cả các số hạng của khai triển.
Họ và tên thí sinh:..................................................; Số báo danh:........................................................
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7,0 điểm)ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC NĂM 2012Môn thi : TOÁN; Khối A, A1
Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1.$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho.
2. Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua $M(-2;3)$ với hệ số góc $k.$ Tìm $k$ để đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại ba giao điểm đó cắt nhau tạo thành tam giác vuông.
Câu 2(1,0 điểm) Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+2\cos x-\cos 2x-1=0.$
Câu 3(1,0 điểm) Giải bất phương trình
$$\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{3} \right)x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)x+2}\le 3\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}.$$
Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân $$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( \sin 2x+\cos x+1 \right)+\left( 2x\cos x+1 \right)\ln x}{\sin x+x\ln x}dx}$$
Câu 5(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Mặt bên $SAD$ là tam giác đều và $SB=a\sqrt{2}$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AB$. Gọi $H$ là giao điểm của $FC$ và $EB$. Chứng minh $SE\bot EB,CH\bot SB$ và tính thể tích khối chóp $C.SEB.$
Câu 6(1,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=ab+bc+ca-2abc$.
PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(4,3).$ Đường thẳng $\left( d \right):x-y-2=0$ và $\left( d' \right):x+y-4=0$ cắt nhau tại $M$. Tìm $B\in \left( d \right)$ và $C\in \left( d' \right)$ sao cho $A$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBC.$
Câu 8a(1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng $\left( P \right):3x-2y-3z-7=0$ và cắt đường thẳng $\left( d \right):\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}.$
Câu 9a(1,0 điểm) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức Oxy của số phức $z'=\left( 1+i\sqrt{3} \right)z+2$ biết rằng số phức z thỏa mãn $\left| z-1 \right|\le 2.$
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(1;-1)$ và hai đường thẳng có phương trình $\left( {{d}_{1}} \right):x-y-1=0,$ $\left( {{d}_{2}} \right):2x+y-5=0.$ Gọi $A$ là giao của hai đường thẳng trên. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $M,$ cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $ABC$ là tam giác có $BC=3AB.$
Câu 8b(1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$ và đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right):\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}.$ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc $\left( {{d}_{1}} \right)$, bán kính bằng 5, đồng thời cắt $\left( {{d}_{2}} \right)$tạo thành một dây cung có độ dài lớn nhất.
Câu 9b(1,0 điểm) Trong khai triển nhị thức Niutơn ${{\left( 2+\frac{1}{x} \right)}^{n}}$, hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{{x}^{2}}}$ gấp đôi hệ số của số hạng thứ hai. Tìm hệ số của số hạng chứa $\frac{1}{{{x}^{4}}}$ và tính tổng hệ số của tất cả các số hạng của khai triển.
Học sinh không được sử dung tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm...........HẾT.........
Họ và tên thí sinh:..................................................; Số báo danh:........................................................
Thứ Ba, 25 tháng 6, 2013
Bất phương trình vô tỷ 52_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$x - \sqrt {3x - 2} \le \sqrt {9{x^2} - 6x} - x\sqrt {{x^2} + 2} $$
Giải. Điều kiện: $x \ge \frac{2}{3}$, khi đó bất phương trình tương đương với:
$$x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 1} \right) \le \sqrt {3x - 2} + \sqrt {9{x^2} - 6x} \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 1} \right) \le \sqrt {3x - 2} \left[ {\sqrt {\left( {3x - 2} \right) + 2} + 1} \right]$$
Đến đây xét hàm số $f(t) = t\left( {\sqrt {{t^2} + 2} + 1} \right)$tăng trên $\left( {0, + \infty } \right)$. Suy ra $f(x) \le f\left( {\sqrt {3x - 2} } \right) \Leftrightarrow x \le \sqrt {3x - 2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$.
Giải. Điều kiện: $x \ge \frac{2}{3}$, khi đó bất phương trình tương đương với:
$$x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 1} \right) \le \sqrt {3x - 2} + \sqrt {9{x^2} - 6x} \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + 1} \right) \le \sqrt {3x - 2} \left[ {\sqrt {\left( {3x - 2} \right) + 2} + 1} \right]$$
Đến đây xét hàm số $f(t) = t\left( {\sqrt {{t^2} + 2} + 1} \right)$tăng trên $\left( {0, + \infty } \right)$. Suy ra $f(x) \le f\left( {\sqrt {3x - 2} } \right) \Leftrightarrow x \le \sqrt {3x - 2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$.
Bất phương trình vô tỷ 51_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\left( {4{x^2} + 6x} \right)\sqrt {2x + 4} \ge 2{x^3} + 7{x^2} + 14x + 12$$
Giải. Điều kiện: $x \ge - 2$.
Khi đó bất phương trình tương đương với:
$$2x\left( {2x + 3} \right)\sqrt {2x + 4} \ge \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {2x\sqrt {2x + 4} - {x^2} - 2x - 4} \right) \ge 0$$
Giải. Điều kiện: $x \ge - 2$.
Khi đó bất phương trình tương đương với:
$$2x\left( {2x + 3} \right)\sqrt {2x + 4} \ge \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {2x\sqrt {2x + 4} - {x^2} - 2x - 4} \right) \ge 0$$
Chủ Nhật, 23 tháng 6, 2013
Phương trình vô tỷ 3_LTĐH
Bài toán. Giải phương trình $$3 - 4\sqrt {3 - x - 4{x^2}} + \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right)}^2}}} = 2\left( {x - \sqrt {3 - 4x} } \right)$$
Trục căn thức đưa về phương trình:
$$3 - 4\sqrt {3 - x - 4{x^2}} + 2\left( {2 + x - 2\sqrt {1 + x} } \right) = 2\left( {x - \sqrt {3 - 4x} } \right)$$
$$ \Leftrightarrow 7 - 4\sqrt {3 - x - 4{x^2}} + 2\left( {\sqrt {3 - 4x} - 2\sqrt {1 + x} } \right) = 0$$
Đến đây đặt $u = \sqrt {3 - 4x} - 2\sqrt {1 + x} $.
Trục căn thức đưa về phương trình:
$$3 - 4\sqrt {3 - x - 4{x^2}} + 2\left( {2 + x - 2\sqrt {1 + x} } \right) = 2\left( {x - \sqrt {3 - 4x} } \right)$$
$$ \Leftrightarrow 7 - 4\sqrt {3 - x - 4{x^2}} + 2\left( {\sqrt {3 - 4x} - 2\sqrt {1 + x} } \right) = 0$$
Đến đây đặt $u = \sqrt {3 - 4x} - 2\sqrt {1 + x} $.
Thứ Bảy, 22 tháng 6, 2013
Bất đẳng thức 2_LTĐH
Bài toán. Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x + y + z = 0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P = \ln \left( {\sqrt {14\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} + 1} \right) - \left( {{x^6} + {y^6} + {z^6}} \right) - \left| {2x - y} \right| - \left| {2y - z} \right| - \left| {2z - x} \right| - 6\cos xyz$$.
$$P = \ln \left( {\sqrt {14\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} + 1} \right) - \left( {{x^6} + {y^6} + {z^6}} \right) - \left| {2x - y} \right| - \left| {2y - z} \right| - \left| {2z - x} \right| - 6\cos xyz$$.
Thứ Sáu, 21 tháng 6, 2013
Phương trình vô tỷ 3_LTĐH
Bài toán. Giải phương trình $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$
Giải. Điều kiện : $ \ -\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}$Phương trình đã cho tưong đương với phương trình :$$\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x} \right)^2=\dfrac{\left(4x^2-4x+1 \right)^2}{4} \Leftrightarrow 4+2\sqrt{-4x^2+4x+3} = \dfrac{\left(4x^2-4x+1 \right)^2}{4} \quad (1)$$
Đặt : $ \ t= \sqrt{-4x^2+4x+3}= \sqrt{4-(2x-1)^2} , \forall t \in \left[0 \ ; \ 2 \right]$. Lúc đó phương trình $(1)$ trở thành : $$ 16+8t=(4-t^2)^2 \Leftrightarrow t(t^3-8t-8)=0 \Leftrightarrow t(t+2)(t^2-2t-4)=0 \Leftrightarrow t=0$$
Với $ \ t= 0 \Leftrightarrow \sqrt{-4x^2+4x+3}=0 \Leftrightarrow 4x^2-4x-3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x =-\dfrac{1}{2} \\ x =\dfrac{3}{2} \end{matrix} \right.$
Phương trình vô tỷ 2_LTĐH
Bài toán. Giải phương trình
$$\left(x-\dfrac{1}{3} \right)\sqrt{x^2+3x+\dfrac{1}{9}} =\dfrac{2\sqrt 3}{3}x$$
Giải. Điều kiện: $$x^2+3x+\dfrac{1}{9}\geq 0$$. Từ đó suy ra
$$ \Rightarrow (9x^2-6x+1)\dfrac{9x^2+27x+1}{9}=12x^2$$
$$\Leftrightarrow (9x^2-6x+1)(9x^2-6x+1+33x)=108x^2$$
$$\Leftrightarrow (9x^2-6x+1)^2+33x(9x^2-6x+1)-108x^2=0$$
Rõ ràng đây là phương trình đẳng cấp. Ta biến đổi được thành:
$$(9x^2-6x+1-3x)(9x^2-6x+1+36x)=0\Leftrightarrow (9x^2-9x+1)(9x^2+30x+1)=0$$
Tới đây thì dễ rồi.
Bất phương trình vô tỷ 50_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\frac{{8 - 3x}}{{3 + \sqrt {3x + 1} }} + \sqrt {4 + x} \ge 2\left( {\sqrt {3{x^2} + 13x + 4} - 2x} \right)$$
Giải. Đặt $a = \sqrt {3x + 1} $ và $b = \sqrt {x + 4} $, đưa
về bất phương trình $$3 - a + b \ge 2ab - \left( {{a^2} + {b^2} - 5} \right)
\Leftrightarrow \left( {a - b - 2} \right)\left( {a - b + 1} \right) \ge 0$$
Bất phương trình vô tỷ 49_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\sqrt[3]{2(x^{2}-4)}+x\geq \sqrt{\frac{x^{3}-16}{2}}$$
Giải. Điều kiện : $x\geq \sqrt[3]{16}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2(x^2-4)}-(x-2)+2x-2-\sqrt{\dfrac{x^3-16}{2}}\geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{2(x^2-4)-(x+2)^3}{A^2+AB+B^2}+\dfrac{(2x-2)^2-\dfrac{x^3-16}{2}}{2x-2+\sqrt{\dfrac{x^3-16}{2}}}\geq 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{-(x-6)(x-2)x}{A^2+AB+B^2}+\dfrac{-(x-6)(x^2-2x+4)}{MS}\geq 0$
Vậy rút nhận tử chung ra vế còn lại luôn dương với điều kiện $x\geq \sqrt[3]{16}$
Vậy $\sqrt[3]{16}\leq x\leq 6$
Phương trình vô tỷ 1_LTĐH
Bài toán. Giải phương trình \[12\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{8{x^3} - 1}}{{16}}} \right)}^2}}} + 16{x^2} + 24x + 5 = 16\left( {2x + 1} \right)\sqrt[3]{{\frac{{8{x^3} - 1}}{{16}}}}\].
Bất phương trình vô tỷ 48_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\left( {{x^2} + 4} \right)\sqrt {2x + 4} \le 3{x^2} + 6x - 4$$.
Giải. ĐK:$x \ge - 2$
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + 4} \right)^2}\left( {2x + 4} \right) \le {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)^2}\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x + 3} \right){\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)^2} \le 0\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
2x + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
2x + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt {21} - 3}}{3}\\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 5 \\
x = 1 - \sqrt 5
\end{array} \right.\\
x \le \frac{{ - 3}}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt {21} - 3}}{3}\\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Vẽ trục số ra ta có được:$\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 5 \\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1+\sqrt{5}$
Giải. ĐK:$x \ge - 2$
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + 4} \right)^2}\left( {2x + 4} \right) \le {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)^2}\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x + 3} \right){\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)^2} \le 0\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
2x + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
2x + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt {21} - 3}}{3}\\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 5 \\
x = 1 - \sqrt 5
\end{array} \right.\\
x \le \frac{{ - 3}}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt {21} - 3}}{3}\\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Vẽ trục số ra ta có được:$\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 5 \\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1+\sqrt{5}$
Thứ Năm, 20 tháng 6, 2013
Bất đẳng thức 1_LTĐH
Bài toán. Cho ba số thực $x,y,z$ thuộc khoảng $\left(
{ - \frac{{10}}{9},\frac{{10}}{9}} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P =
\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^4} - 2\cos yz} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - {y^4} - 2\cos
zx} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - {z^4} - 2\cos xy} }}$$.
Hệ phương trình 3_LTĐH
Bài toán. Tìm tất cả các nghiệm thực của hệ phương trình sau
$$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$$
Giải.
Lời giải 1:
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9x{y^3} - 24{y^2} + \left( {27{x^2} + 40} \right)y + 3x - 16 = 0}\\
{{y^2} + \left( {9x - 10} \right)y + 3\left( {x + 3} \right) = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {9xy + 9} \right) + \left( {{y^2} + 3x} \right) = 10y\\
9xy\left( {{y^2} + 3x} \right) + 3x + {y^2} = 25{y^2} - 40y + 16
\end{array} \right.\\
\end{array}\]
Đặt $a=9xy+9$ và $b=y^2+3x$. Ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 10y\\
\left( {a - 9} \right)b + b = 25{y^2} - 40y + 16
\end{array} \right.\]
Từ phương trình đầu ta có: $a=10y-b$ thế vào phương trình thứ hai ta được:\[\left( {10y - b - 9} \right)b + b - \left( {25{y^2} - 40y + 16} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 10yb - {b^2} - 8b - \left( {25{y^2} - 40y + 16} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow {b^2} - 2b\left( {5y - 4} \right) + {\left( {5y - 4} \right)^2} = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {b - \left( {5y - 4} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow b = 5y - 4\]
Ta có:
$$y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0$$ $$\Leftrightarrow y^2-10y+9+3x(3y+1)=0$$ $$\Leftrightarrow (y-1)(y-9)+(-y^2+5y-4)(3y+1)=0$$
Lời giải 2:
Hướng thứ nhất, để ý phương trình thứ hai của hệ ta có thể rút $x$ theo $y$ được, do vậy ta sẽ nghĩ đến phép thế, tuy nhiên sẽ rất đến phương trình bậc sáu với ẩn là $y$, bắt buộc các bạn phải nhẩm được nghiệm.
Hướng thứ hai, thấy phần tử $3x$ ở hai phương trình của hệ nên ta nghĩ đến việc loại bỏ phần tử này đi, tức trừ theo vế hai phương trình của hệ.
Dưới đây xin trình bày lời giải theo hướng thứ hai:
Trừ hai vế phương trình của hệ ta được phương trình:
$$9xy\left( {{y^2} - 1 + 3x} \right) - 25{\left( {{y^2} - 2y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 9xy\left( {{y^2} + 3x - 1} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2} (1) $$
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được: $$3x\left( {3y + 1} \right) = - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)$$
Nhận thấy $y = - \frac{1}{3}$ không thỏa mãn hệ, nên ta sẽ nhân vào hai vế của phương trình (1) với đại lượng ${\left( {3y + 1} \right)^2}$, đưa về phương trình:
$$9x\left( {3y + 1} \right)y\left( {{y^2}\left( {3y + 1} \right) + 3x\left( {3y + 1} \right) - \left( {3y + 1} \right)} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$, đến đây thay $$3x\left( {3y + 1} \right) = - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)$$ vào ta được:
$$ - 3y\left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)\left( {{y^2}\left( {3y + 1} \right) - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right) - 3y - 1} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$
$$ \Leftrightarrow - 3y{\left( {y - 1} \right)^2}\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
25{\left( {3y + 1} \right)^2} + 3y\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 0
\end{array} \right.$$
Ta giải phương trình: $$25{\left( {3y + 1} \right)^2} + 3y\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 0$$, rút gọn ta được:
$$ \Leftrightarrow 9{y^4} - 72{y^3} + 174{y^2} - 120y + 25 = 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {3{y^2} - 12y} \right)^2} + 10\left( {3{y^2} - 12y} \right) + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {3{y^2} - 12y + 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{6 \pm \sqrt {21} }}{3}$$
Từ đó suy ra giá trị của $x$
Lời giải 3:
Ta biến đổi hệ phương trình thành dạng :
$$\begin{cases} 9xy^3+27x^2y-24y^2+40y+3x-16=0\\ y^2+3x+9xy-10y+9=0 \end{cases}$$
Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 ta được hệ tương đương
$$\begin{cases} 9xy(y^3+3x-1)=25(y-1)^2 \\ y^2+3x-1 +9xy = 10(y-1) \end{cases}$$
Đặt : $\begin{cases} a=9xy \\ b=y^2+3x-1 \end{cases}$
Khi đó hệ trở thành hệ : $$\begin{cases} ab=25(y-1)^2 \\ a+b =10(y-1) \end{cases}$$
$$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$$
Giải.
Lời giải 1:
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9x{y^3} - 24{y^2} + \left( {27{x^2} + 40} \right)y + 3x - 16 = 0}\\
{{y^2} + \left( {9x - 10} \right)y + 3\left( {x + 3} \right) = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {9xy + 9} \right) + \left( {{y^2} + 3x} \right) = 10y\\
9xy\left( {{y^2} + 3x} \right) + 3x + {y^2} = 25{y^2} - 40y + 16
\end{array} \right.\\
\end{array}\]
Đặt $a=9xy+9$ và $b=y^2+3x$. Ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 10y\\
\left( {a - 9} \right)b + b = 25{y^2} - 40y + 16
\end{array} \right.\]
Từ phương trình đầu ta có: $a=10y-b$ thế vào phương trình thứ hai ta được:\[\left( {10y - b - 9} \right)b + b - \left( {25{y^2} - 40y + 16} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 10yb - {b^2} - 8b - \left( {25{y^2} - 40y + 16} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow {b^2} - 2b\left( {5y - 4} \right) + {\left( {5y - 4} \right)^2} = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {b - \left( {5y - 4} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow b = 5y - 4\]
Ta có:
$$y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0$$ $$\Leftrightarrow y^2-10y+9+3x(3y+1)=0$$ $$\Leftrightarrow (y-1)(y-9)+(-y^2+5y-4)(3y+1)=0$$
Lời giải 2:
Hướng thứ nhất, để ý phương trình thứ hai của hệ ta có thể rút $x$ theo $y$ được, do vậy ta sẽ nghĩ đến phép thế, tuy nhiên sẽ rất đến phương trình bậc sáu với ẩn là $y$, bắt buộc các bạn phải nhẩm được nghiệm.
Hướng thứ hai, thấy phần tử $3x$ ở hai phương trình của hệ nên ta nghĩ đến việc loại bỏ phần tử này đi, tức trừ theo vế hai phương trình của hệ.
Dưới đây xin trình bày lời giải theo hướng thứ hai:
Trừ hai vế phương trình của hệ ta được phương trình:
$$9xy\left( {{y^2} - 1 + 3x} \right) - 25{\left( {{y^2} - 2y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 9xy\left( {{y^2} + 3x - 1} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2} (1) $$
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được: $$3x\left( {3y + 1} \right) = - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)$$
Nhận thấy $y = - \frac{1}{3}$ không thỏa mãn hệ, nên ta sẽ nhân vào hai vế của phương trình (1) với đại lượng ${\left( {3y + 1} \right)^2}$, đưa về phương trình:
$$9x\left( {3y + 1} \right)y\left( {{y^2}\left( {3y + 1} \right) + 3x\left( {3y + 1} \right) - \left( {3y + 1} \right)} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$, đến đây thay $$3x\left( {3y + 1} \right) = - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)$$ vào ta được:
$$ - 3y\left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)\left( {{y^2}\left( {3y + 1} \right) - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right) - 3y - 1} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$
$$ \Leftrightarrow - 3y{\left( {y - 1} \right)^2}\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
25{\left( {3y + 1} \right)^2} + 3y\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 0
\end{array} \right.$$
Ta giải phương trình: $$25{\left( {3y + 1} \right)^2} + 3y\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 0$$, rút gọn ta được:
$$ \Leftrightarrow 9{y^4} - 72{y^3} + 174{y^2} - 120y + 25 = 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {3{y^2} - 12y} \right)^2} + 10\left( {3{y^2} - 12y} \right) + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {3{y^2} - 12y + 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{6 \pm \sqrt {21} }}{3}$$
Từ đó suy ra giá trị của $x$
Lời giải 3:
Ta biến đổi hệ phương trình thành dạng :
$$\begin{cases} 9xy^3+27x^2y-24y^2+40y+3x-16=0\\ y^2+3x+9xy-10y+9=0 \end{cases}$$
Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 ta được hệ tương đương
$$\begin{cases} 9xy(y^3+3x-1)=25(y-1)^2 \\ y^2+3x-1 +9xy = 10(y-1) \end{cases}$$
Đặt : $\begin{cases} a=9xy \\ b=y^2+3x-1 \end{cases}$
Khi đó hệ trở thành hệ : $$\begin{cases} ab=25(y-1)^2 \\ a+b =10(y-1) \end{cases}$$
Bất phương trình vô tỷ 47_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt{x^{2}-8x+15}\leq \sqrt{4x^{2}-18x+18}-\sqrt{x^{2}+2x-15}$$
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-8x+15\ge 0 \\
4{{x}^{2}}-18x+18\ge 0 \\
{{x}^{2}}+2x-15\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\iff \left[ \begin{matrix}
x\le -5 \\
x\ge 5 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó ta đặt $a=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+15}\ge 0,b=\sqrt{{{x}^{2}}+2x-15}\ge 0$ thì $4{{x}^{2}}-18x+18=\frac{13}{5}{{a}^{2}}+\frac{7}{5}{{b}^{2}}$.
Do đó phương trình trở thành:
$$a+b\le \sqrt{\frac{13}{5}{{a}^{2}}+\frac{7}{5}{{b}^{2}}}$
$\iff 8{{a}^{2}}-10ab+2{{b}^{2}}\ge 0$$
Nếu $b=0$ thì ${{a}^{2}}\ge 0,\forall a$ nên nghiệm trong trường hợp này là $x=-5$.
Xét $b>0$, chia hai vế cho ${{b}^{2}}$ thì bất phương trình trở thành:
$$4{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-5\frac{a}{b}+1\ge 0 \iff \left[ \begin{matrix}
\frac{a}{b}\le \frac{1}{4} \\
\frac{a}{b}\ge 1 \\
\end{matrix} \right.$$
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-8x+15\ge 0 \\
4{{x}^{2}}-18x+18\ge 0 \\
{{x}^{2}}+2x-15\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\iff \left[ \begin{matrix}
x\le -5 \\
x\ge 5 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó ta đặt $a=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+15}\ge 0,b=\sqrt{{{x}^{2}}+2x-15}\ge 0$ thì $4{{x}^{2}}-18x+18=\frac{13}{5}{{a}^{2}}+\frac{7}{5}{{b}^{2}}$.
Do đó phương trình trở thành:
$$a+b\le \sqrt{\frac{13}{5}{{a}^{2}}+\frac{7}{5}{{b}^{2}}}$
$\iff 8{{a}^{2}}-10ab+2{{b}^{2}}\ge 0$$
Nếu $b=0$ thì ${{a}^{2}}\ge 0,\forall a$ nên nghiệm trong trường hợp này là $x=-5$.
Xét $b>0$, chia hai vế cho ${{b}^{2}}$ thì bất phương trình trở thành:
$$4{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-5\frac{a}{b}+1\ge 0 \iff \left[ \begin{matrix}
\frac{a}{b}\le \frac{1}{4} \\
\frac{a}{b}\ge 1 \\
\end{matrix} \right.$$
Bất phương trình vô tỷ 46_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt{x^{4}-9x^{2}}+14x^{2}\geq 2x^{3}+24x$$
Bất phương trình vô tỷ 45_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\dfrac{9x^2-4}{\sqrt{5x^2-1}} \le 3x+2$$
Giải. Điều kiện $5{{x}^{2}}-1>0\Leftrightarrow x<\frac{-1}{\sqrt{5}}\vee x>\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Khi đó, bất phương trình tương đương
$$(3x+2)\left( 3x-2-\sqrt{5{{x}^{2}}-1} \right)\le 0$$
Xét
$$3x-2-\sqrt{5{{x}^{2}}-1}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{2}{3} \\
4{{x}^{2}}-12x+5=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$$
Lập bảng xét dấu ta nhận được tập nghiệm $S=\left[ -\frac{2}{3};\frac{-1}{\sqrt{5}} \right)\bigcup \left( \frac{1}{\sqrt{5}};\frac{5}{2} \right]$
$$\dfrac{9x^2-4}{\sqrt{5x^2-1}} \le 3x+2$$
Giải. Điều kiện $5{{x}^{2}}-1>0\Leftrightarrow x<\frac{-1}{\sqrt{5}}\vee x>\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Khi đó, bất phương trình tương đương
$$(3x+2)\left( 3x-2-\sqrt{5{{x}^{2}}-1} \right)\le 0$$
Xét
$$3x-2-\sqrt{5{{x}^{2}}-1}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{2}{3} \\
4{{x}^{2}}-12x+5=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$$
Lập bảng xét dấu ta nhận được tập nghiệm $S=\left[ -\frac{2}{3};\frac{-1}{\sqrt{5}} \right)\bigcup \left( \frac{1}{\sqrt{5}};\frac{5}{2} \right]$
Hệ phương trình 2_LTĐH
Bài toán. Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}y - 6x{y^2} + {y^3} - 2\left( {x - 2y} \right) = 0\\
xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy + 2 = 2{\left( {x + y} \right)^2}
\end{array} \right.,\left( {x,y \in R } \right)$$
{x^2}y - 6x{y^2} + {y^3} - 2\left( {x - 2y} \right) = 0\\
xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy + 2 = 2{\left( {x + y} \right)^2}
\end{array} \right.,\left( {x,y \in R } \right)$$
Hệ phương trình 1_LTĐH
Bài toán. Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y + 1} \right)xy = {x^2} + {y^2}\\
xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = {x^2}{y^2} - xy + \frac{1}{4}
\end{array} \right.,\left( {x,y \in R} \right)$$
\left( {x + y + 1} \right)xy = {x^2} + {y^2}\\
xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = {x^2}{y^2} - xy + \frac{1}{4}
\end{array} \right.,\left( {x,y \in R} \right)$$
Bất phương trình vô tỷ 44_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$
Giải. Điều kiện $x \ge 1$, chiaw hai vế bất phương trình cho ${x^2} > 0$ ta được
$$1 - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \ge \left( {4\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3} \right)\sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} $$
Đến đây ta đặt $t = \sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \ge 0$, đưa về bất phương trình $$1 - 3{t^2} \ge t\left( {4{t^2} + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {4t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow t \le \frac{1}{4}$$
$$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \ge 0$$, luôn đúng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1; + \infty } \right)$
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$
Giải. Điều kiện $x \ge 1$, chiaw hai vế bất phương trình cho ${x^2} > 0$ ta được
$$1 - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \ge \left( {4\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3} \right)\sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} $$
Đến đây ta đặt $t = \sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \ge 0$, đưa về bất phương trình $$1 - 3{t^2} \ge t\left( {4{t^2} + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {4t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow t \le \frac{1}{4}$$
$$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \ge 0$$, luôn đúng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1; + \infty } \right)$
Bất phương trình vô tỷ 43_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\frac{{9 - 2x}}{{\sqrt {4 - x} }} + \frac{{4x + 3}}{{\sqrt
{4x + 1} }} \le \frac{{15}}{2}$$
Bất phương trình vô tỷ 42_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt {4{x^2} + 38x - 1} - 2\sqrt {6x - 1} \le x + 1$$
Bất phương trình vô tỷ 41_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$${\left( {x + 4} \right)^2} - 6\sqrt {{x^3} + 3x} \le 13$$
Giải. Điều kiện: $x \ge 0$.Nhận thấy $x = 0$ không thỏa mãn bất phương trình, do vậy $x > 0$ ta chia hai vế của bất phương trình cho $x$ ta được
$${\left( {x + 4} \right)^2} - 6\sqrt {{x^3} + 3x} \le 13 \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 3 \le 6\sqrt {{x^3} + 3x} \Leftrightarrow x + 8 + \frac{3}{x} \le 6\sqrt {\frac{3}{x} + x} $$
Đặt $t = \sqrt {x + \frac{3}{x}} $, bất phương trình trở thành:
$${t^2} + 8 - 6t \le 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow 2 \le t \le 4 \Leftrightarrow 2 \le \sqrt {x + \frac{3}{x}} \le 4$$
$$ \Leftrightarrow 4 \le x + \frac{3}{x} \le 16 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 16x + 3 \le 0\\
{x^2} - 4x + 3 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le 8 - \sqrt {61} \\
x \ge 8 + \sqrt {61}
\end{array} \right.$$
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0,8 - \sqrt {61} } \right] \cup \left[ {8 + \sqrt {61} , + \infty } \right)$.
Thứ Tư, 19 tháng 6, 2013
Bất phương trình vô tỷ 40_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$45{x^3} - 17{x^2} - 37x + 25 \ge 4\sqrt {\left( {x + 1} \right){{\left( {5x - 3} \right)}^3}} $$
Giải. Để bất phương trình có nghiệm ta phải có
$$45{x^3} - 17{x^2} - 37x + 25 = \left( {x + 1} \right)\left( {45{x^2} - 62x + 25} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1$$
Khi đó điều kiện của bất phương trình là
$$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
\left( {x + 1} \right){\left( {5x - 3} \right)^3} \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x \ge \frac{3}{5}
\end{array} \right.$$
Nhận thấy $x = - 1;x = \frac{3}{5}$ thỏa mãn bất phương trình.
Ta xét $x > \frac{3}{5}$, khi đó bất phương trình tương đương với
\[\frac{{45{x^2} - 62x + 25}}{{5x - 3}} \ge 4\sqrt {\frac{{5x - 3}}{{x + 1}}} {\rm{ }}(1)\].
Ta đặt $t = \sqrt {\frac{{5x - 3}}{{x + 1}}} ,t \in \left( {0,\sqrt 5 } \right) \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}}$, khi đó bất phương trình $(1)$trở thành
$$\frac{{45.{{\left( {\frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}}} \right)}^2} - 62.\frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}} + 25}}{{5.\frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}} - 3}} \ge 4t \Leftrightarrow \frac{{132{t^4} - 104{t^2} + 100}}{{ - 8{t^4} + 40{t^2}}} \ge 4t$$
$$ \Leftrightarrow 32{t^5} + 132{t^4} - 160{t^3} - 104{t^2} + 100 \ge 0$$
Đến đây ta xét hàm số $f(t) = 32{t^5} + 132{t^4} - 160{t^3} - 104{t^2} + 100$ trên khoảng $\left( {0,\sqrt 5 } \right)$.
Ta có $f'(t) = 160{t^4} + 528{t^3} - 480{t^2} - 208t = 16t\left( {t - 1} \right)\left( {10{t^2} + 43t + 13} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1$.
Lập bảng biến thiên suy ra $f(t) \ge f(1) = 0$. Do đó bất phương trình luôn đúng với $t \in \left( {0,\sqrt 5 } \right)$hay là luôn đúng với $x > \frac{3}{5}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ { - 1} \right\} \cup \left[ {\frac{3}{5}, + \infty } \right)$.
Bất phương trình vô tỷ 39_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\dfrac{{x - 7}}{{x - 1 - 2\sqrt {x + 2} }} \ge \dfrac{{2\sqrt {4 - x} }}{{x + 1}}$$
Giải. Điều kiện: $-2\leq x\leq 4; x\neq -1$
Từ điều kiện bài toán ta có: $x-1-2\sqrt{x+2}\neq0$
Ta có: $$(x-1-2\sqrt{x+2})(x-1+2\sqrt{x+2})=(x+1)(x-7)$$
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$$\frac{(x-7)(x-1+2\sqrt{x+2})}{(x+1)(x-7)}\geq \frac{2\sqrt{4-x}}{x+1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-1+2\sqrt{x+2}}{x+1}\geq \frac{2\sqrt{4-x}}{x+1}$$
Giải. Điều kiện: $-2\leq x\leq 4; x\neq -1$
Từ điều kiện bài toán ta có: $x-1-2\sqrt{x+2}\neq0$
Ta có: $$(x-1-2\sqrt{x+2})(x-1+2\sqrt{x+2})=(x+1)(x-7)$$
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$$\frac{(x-7)(x-1+2\sqrt{x+2})}{(x+1)(x-7)}\geq \frac{2\sqrt{4-x}}{x+1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-1+2\sqrt{x+2}}{x+1}\geq \frac{2\sqrt{4-x}}{x+1}$$
Bất phương trình vô tỷ 38_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt{3x^{2}+\dfrac{2}{x^2}+4}\leq x+\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}$$
Bất phương trình vô tỷ 37_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\dfrac{x^2-x}{\sqrt{x^4+3x^2}-2x}\le 1$$
$$\dfrac{x^2-x}{\sqrt{x^4+3x^2}-2x}\le 1$$
Bất phương trình vô tỷ 36_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$(x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)\ge 0$$
$$(x+2)(\sqrt{x^2+4x+7}+1)+x(\sqrt{x^2+3}+1)\ge 0$$
Bất phương trình vô tỷ 35_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\dfrac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2+x}}{2}\leq x-2+\sqrt{x^2-4}$$
Giải. Điều kiện: $x\geq 2$
$-$Bất phương trình được viết lại như sau:
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}\leq 2x-4+2\sqrt{x^2-4}$$
Đặt: $ \ t=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}\Rightarrow t^2=2x+2\sqrt{x^2-4}\Rightarrow t\geq 2$
$-$Bất phương trình đã cho trở thành:$$t^2-t-4\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t\leq \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\\t\geq \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$$
Kết hợp điều kiện $ \ t\geq 2 \Rightarrow t\geq \dfrac{1+\sqrt{17}}{2} $
$$\dfrac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2+x}}{2}\leq x-2+\sqrt{x^2-4}$$
Giải. Điều kiện: $x\geq 2$
$-$Bất phương trình được viết lại như sau:
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}\leq 2x-4+2\sqrt{x^2-4}$$
Đặt: $ \ t=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}\Rightarrow t^2=2x+2\sqrt{x^2-4}\Rightarrow t\geq 2$
$-$Bất phương trình đã cho trở thành:$$t^2-t-4\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t\leq \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\\t\geq \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$$
Kết hợp điều kiện $ \ t\geq 2 \Rightarrow t\geq \dfrac{1+\sqrt{17}}{2} $
Bất phương trình vô tỷ 34_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình sau $$ \dfrac{x^4-4x^2+16}{x^2(4 - x^2)}-( \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}} )- 1 \leq 0$$
Bất phương trình vô tỷ 33_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} >\dfrac{x - 1}{x}.$$
Bất phương trình vô tỷ 32_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \geqslant 4$$
Giải. Điều kiện: $\ x \ge 1$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $$\left( {\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \geqslant 4\left( {\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} } \right)$$ $$\Leftrightarrow 4\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\left( {\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} } \right)$$ $$\Leftrightarrow x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3 }\ge \sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} $$ Đặt: $\ t=\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} \,\ (t \ge 2)$..
Ta có: $$t^2=2x+2+2\sqrt{(x-1)(x+3)} \Leftrightarrow x-3+\sqrt {{x^2} + 2x - 3 }=\dfrac{t^2-8}{2}$$ Thay vào trên ta được: $$\dfrac{t^2-8}{2} \ge t \Leftrightarrow (t-4)(t+2) \ge 0 \Leftrightarrow t \ge 4$$ Vậy ta cần giải bất phương trình cơ bản sau đây: $$f(x)=\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} \ge 4$$ Dễ thấy $\ VT$ là một hàm đồng biến, mà ta nhẩm được $\ f\left(\dfrac{13}{4} \right)=4$, nên nghiệm của bất phương trình chính là: $\ x \ge \dfrac{13}{4}$.
$$\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \geqslant 4$$
Giải. Điều kiện: $\ x \ge 1$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $$\left( {\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \geqslant 4\left( {\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} } \right)$$ $$\Leftrightarrow 4\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\left( {\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} } \right)$$ $$\Leftrightarrow x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3 }\ge \sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} $$ Đặt: $\ t=\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} \,\ (t \ge 2)$..
Ta có: $$t^2=2x+2+2\sqrt{(x-1)(x+3)} \Leftrightarrow x-3+\sqrt {{x^2} + 2x - 3 }=\dfrac{t^2-8}{2}$$ Thay vào trên ta được: $$\dfrac{t^2-8}{2} \ge t \Leftrightarrow (t-4)(t+2) \ge 0 \Leftrightarrow t \ge 4$$ Vậy ta cần giải bất phương trình cơ bản sau đây: $$f(x)=\sqrt {x + 3} +\sqrt {x - 1} \ge 4$$ Dễ thấy $\ VT$ là một hàm đồng biến, mà ta nhẩm được $\ f\left(\dfrac{13}{4} \right)=4$, nên nghiệm của bất phương trình chính là: $\ x \ge \dfrac{13}{4}$.
Bất phương trình vô tỷ 31_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình sau $$\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}\quad (x \in \mathbb{R}).$$
Giải. Điều kiện:[/B][/U] $ - 1 \le x \le 1$.
Ta đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \ge 2 \Rightarrow t \ge \sqrt 2 $
và từ đây ta rút được \[{x^2} = 1 - {\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)^2}\].
Khi đó bất phương trình trở thành:
$t \le 2 - \frac{{1 - {{\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} - 16t + 32 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2}\left( {{t^2} + 4t + 8} \right) \ge 0$
Bất phương trình cuối luôn đúng với $t \ge \sqrt 2 $ , từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = \left[ { - 1;1} \right]$.
Giải. Điều kiện:[/B][/U] $ - 1 \le x \le 1$.
Ta đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \ge 2 \Rightarrow t \ge \sqrt 2 $
và từ đây ta rút được \[{x^2} = 1 - {\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)^2}\].
Khi đó bất phương trình trở thành:
$t \le 2 - \frac{{1 - {{\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} - 16t + 32 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2}\left( {{t^2} + 4t + 8} \right) \ge 0$
Bất phương trình cuối luôn đúng với $t \ge \sqrt 2 $ , từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = \left[ { - 1;1} \right]$.
Bất phương trình vô tỷ 30_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4}-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4} \right)\ge 5$$
Giải. Điều kiện: $\ x^2 \ge 1$
Đặt: $\ t=x^2 (t \ge 1)$. Khi đó ta có: $$(\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1})(1+\sqrt{t^2+3t-4}) \ge 5$$ Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với: $$1+\sqrt{(t+4)(t-1)} \ge \sqrt{t+4}+\sqrt{t-1}$$ Bình phương 2 vế ta được: $$1+2\sqrt{(t+4)(t-1)}+t^2+3t-4 \ge 2t+3+2\sqrt{(t+4)(t-1)}$$$$ \Leftrightarrow t^2+t -6 \ge 0 \Leftrightarrow (t+3)(t-2) \ge 0$$ Với điều kiện ta suy ra: $\ t \ge 2$
$$\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4}-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4} \right)\ge 5$$
Giải. Điều kiện: $\ x^2 \ge 1$
Đặt: $\ t=x^2 (t \ge 1)$. Khi đó ta có: $$(\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1})(1+\sqrt{t^2+3t-4}) \ge 5$$ Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với: $$1+\sqrt{(t+4)(t-1)} \ge \sqrt{t+4}+\sqrt{t-1}$$ Bình phương 2 vế ta được: $$1+2\sqrt{(t+4)(t-1)}+t^2+3t-4 \ge 2t+3+2\sqrt{(t+4)(t-1)}$$$$ \Leftrightarrow t^2+t -6 \ge 0 \Leftrightarrow (t+3)(t-2) \ge 0$$ Với điều kiện ta suy ra: $\ t \ge 2$
Bất phương trình vô tỷ 29_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$
Bất phương trình vô tỷ 28_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\dfrac{\sqrt{x}(x+\sqrt{1-x^2})}{x\sqrt{x}+1-\sqrt{x^2-x^3}}\geq 1$$
Giải. Điều kiện: $0 \le x \le 1$
Khi đó $x\sqrt x + 1 - \sqrt {{x^2} - {x^3}} \ge x\sqrt x + 1 - \sqrt {{x^2}} = x\sqrt x + 1 - x > 0$ với $0 \le x \le 1$
Bất phương trình lúc này trở thành:
$$\sqrt x \left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right) \ge x\sqrt x + 1 - \sqrt {{x^2} - {x^3}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - {x^3}} \ge 1 - \sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow {x^2} - {x^3} \ge 1 + x\left( {1 - {x^2}} \right) - 2\sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} \Leftrightarrow x + 1 - {x^2} - 2\sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} \le 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt x } \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt x \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$$, do $0 \le x \le 1$
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$.
Giải. Điều kiện: $0 \le x \le 1$
Khi đó $x\sqrt x + 1 - \sqrt {{x^2} - {x^3}} \ge x\sqrt x + 1 - \sqrt {{x^2}} = x\sqrt x + 1 - x > 0$ với $0 \le x \le 1$
Bất phương trình lúc này trở thành:
$$\sqrt x \left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right) \ge x\sqrt x + 1 - \sqrt {{x^2} - {x^3}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - {x^3}} \ge 1 - \sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow {x^2} - {x^3} \ge 1 + x\left( {1 - {x^2}} \right) - 2\sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} \Leftrightarrow x + 1 - {x^2} - 2\sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} \le 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt x } \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt x \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$$, do $0 \le x \le 1$
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$.
Bất phương trình vô tỷ 27_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$${x^3} + \left( {3{x^2} - 4x - 4} \right)\sqrt {x + 1} \le 0$$
Giải. Các bạn để ý: $${x^3} + \left( {3{x^2} - 4x - 4} \right)\sqrt {x + 1} \le 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x + 1} - 4{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} \le 0$$
Đây là một dạng bất phương trình đẳng cấp
$${x^3} + \left( {3{x^2} - 4x - 4} \right)\sqrt {x + 1} \le 0$$
Giải. Các bạn để ý: $${x^3} + \left( {3{x^2} - 4x - 4} \right)\sqrt {x + 1} \le 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x + 1} - 4{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} \le 0$$
Đây là một dạng bất phương trình đẳng cấp
Bất phương trình vô tỷ 26_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình sau $(x \in \mathbb{R})$ $$\sqrt{2(4-x^2)} \le \frac{9x^2+8x-32}{16}.$$
Điều kiện: $|x|\leq 2$Đặt $t=\sqrt{2(4-x^2)}$ thì $t\geq 0$ và $t^2=8-2x^2$
Bất phương trình đã cho có dạng:$$4t^2+16t-x^2-8x\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t\leq \dfrac{-x-8}{2}\\t\geq \dfrac{x}{2}\end{array}\right.$$
Điều kiện: $|x|\leq 2$Đặt $t=\sqrt{2(4-x^2)}$ thì $t\geq 0$ và $t^2=8-2x^2$
Bất phương trình đã cho có dạng:$$4t^2+16t-x^2-8x\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t\leq \dfrac{-x-8}{2}\\t\geq \dfrac{x}{2}\end{array}\right.$$
Bất phương trình vô tỷ 25_LTĐH
Bài toán. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm $$x^5+3x^2-2 \le m(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})^3.$$
Bất phương trình vô tỷ 24_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} \ge \left( {1 - 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1} $$
Giải. Ta viết lại bất phương trình như sau
$$\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \ge -2x(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1})$$
Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=a; \sqrt{x^2+x+1}=b$
Ta có: $$a^2-b^2=-2x$$
Suy ra: $$(a-b) \ge (a^2-b^2)(a+b)$$
$$\Leftrightarrow (a-b)(1+a+b)(1-a-b) \ge 0$$
Dễ thấy rằng $1+a+b > 0$, suy ra $(a-b)(1-a-b) \ge 0$
Giải. Ta viết lại bất phương trình như sau
$$\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \ge -2x(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1})$$
Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=a; \sqrt{x^2+x+1}=b$
Ta có: $$a^2-b^2=-2x$$
Suy ra: $$(a-b) \ge (a^2-b^2)(a+b)$$
$$\Leftrightarrow (a-b)(1+a+b)(1-a-b) \ge 0$$
Dễ thấy rằng $1+a+b > 0$, suy ra $(a-b)(1-a-b) \ge 0$
Bất phương trình vô tỷ 23_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\frac{{{x^3} - 2x}}{{{x^2} - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }} \ge 2\sqrt 2$$
$$\frac{{{x^3} - 2x}}{{{x^2} - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }} \ge 2\sqrt 2$$
Bất phương trình vô tỷ 22_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\dfrac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\geq 1$$
Bất phương trình vô tỷ 21_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\frac{{8 - 3x}}{{3 + \sqrt {3x + 1} }} + \sqrt {4 + x} \ge 2\left( {\sqrt {3{x^2} + 13x + 4} - 2x} \right)$$
$$\frac{{8 - 3x}}{{3 + \sqrt {3x + 1} }} + \sqrt {4 + x} \ge 2\left( {\sqrt {3{x^2} + 13x + 4} - 2x} \right)$$
Bất phương trình vô tỷ 20_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {2\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} - 1}} \ge \dfrac{1}{{x - 1}}$$
$$\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {2\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} - 1}} \ge \dfrac{1}{{x - 1}}$$
Bất phương trình vô tỷ 19_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\dfrac{x-7}{x-1-2\sqrt{( x+2)}}\geq \dfrac{2\sqrt{(4-x)}}{x+1}$$
$$\dfrac{x-7}{x-1-2\sqrt{( x+2)}}\geq \dfrac{2\sqrt{(4-x)}}{x+1}$$
Bất phương trình vô tỷ 18_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$
Điều kiện: $x\geq 1$
Chia hai vế Bpt cho $x^2$ ta được:
$$1-3(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2})\geq \left(4(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2})+3 \right)\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}$$
Đặt $\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}= t$. Khi đó
$$Bpt \Leftrightarrow 1-3t^2 \geq (4t^2+3)t$$
$$ \Leftrightarrow (4t-1)(t^2+t+1) \leq 0$$
$$ \Leftrightarrow t \leq \dfrac{1}{4}$$
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$
Điều kiện: $x\geq 1$
Chia hai vế Bpt cho $x^2$ ta được:
$$1-3(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2})\geq \left(4(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2})+3 \right)\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}$$
Đặt $\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}= t$. Khi đó
$$Bpt \Leftrightarrow 1-3t^2 \geq (4t^2+3)t$$
$$ \Leftrightarrow (4t-1)(t^2+t+1) \leq 0$$
$$ \Leftrightarrow t \leq \dfrac{1}{4}$$
Bất phương trình vô tỷ 16_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\frac{2}{x}-3\sqrt{9{{x}^{2}}+3}+\left( \frac{2}{x}-4 \right)\sqrt{1-x+{{x}^{2}}}<10 p="">
$$\frac{2}{x}-3\sqrt{9{{x}^{2}}+3}+\left( \frac{2}{x}-4 \right)\sqrt{1-x+{{x}^{2}}}<10 p="">
Bất phương trình vô tỷ 15_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\left( {\sqrt {5x - 1} + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {3x - 1 - \sqrt {5{x^2} - 6x + 1} } \right) \le 4x$$
$$\left( {\sqrt {5x - 1} + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {3x - 1 - \sqrt {5{x^2} - 6x + 1} } \right) \le 4x$$
Bất phương trình vô tỷ 14_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\dfrac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+24}-\sqrt{x}}< \dfrac{27(12+x-\sqrt{x^2+24x})}{8(12+x+\sqrt{x^2+24x})}$$
$$\dfrac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+24}-\sqrt{x}}< \dfrac{27(12+x-\sqrt{x^2+24x})}{8(12+x+\sqrt{x^2+24x})}$$
Bất phương trình vô tỷ 13_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\frac{12x-8}{\sqrt{16+9x^2}} <\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}$$
$$\frac{12x-8}{\sqrt{16+9x^2}} <\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}$$
Bất phương trình vô tỷ 12_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\frac{{\sqrt {2x - 1} - 2\sqrt {6 - x} }}{{2\sqrt {2x - 1} - \sqrt {6 - x} }} \le \frac{1}{x}$$
Giải. Bất phương trình tương đương với
$\frac{\sqrt{2x-1}-2\sqrt{6-x}}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}}-2\le \frac{1}{x}-2$
$\iff \frac{2x-1}{x}-\frac{3\sqrt{2x-1}}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}}\le 0$
$\iff \sqrt{2x-1}\left[ \frac{\sqrt{2x-1}}{x}-\frac{3}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}} \right]\le 0$
$\iff \sqrt{2x-1}\left[ \frac{x-2-\sqrt{(2x-1)(6-x)}}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}} \right]\le 0$
Ta thấy $x-2-\sqrt{(2x-1)(6-x)}=0\iff x=5$.
Lập bảng xét dấu, được $S=\left\{ \frac{1}{2} \right\}\bigcup \left( \frac{10}{9};5 \right]$
Giải. Bất phương trình tương đương với
$\frac{\sqrt{2x-1}-2\sqrt{6-x}}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}}-2\le \frac{1}{x}-2$
$\iff \frac{2x-1}{x}-\frac{3\sqrt{2x-1}}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}}\le 0$
$\iff \sqrt{2x-1}\left[ \frac{\sqrt{2x-1}}{x}-\frac{3}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}} \right]\le 0$
$\iff \sqrt{2x-1}\left[ \frac{x-2-\sqrt{(2x-1)(6-x)}}{2\sqrt{2x-1}-\sqrt{6-x}} \right]\le 0$
Ta thấy $x-2-\sqrt{(2x-1)(6-x)}=0\iff x=5$.
Lập bảng xét dấu, được $S=\left\{ \frac{1}{2} \right\}\bigcup \left( \frac{10}{9};5 \right]$
Bất phương trình vô tỷ 11_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình sau
$$\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 6} + 7\sqrt x + \sqrt {6({x^2} + 5x - 2)} }}{{x + 3 - \sqrt {2({x^2} + 10)} }} \le 0$$
Giải.
Điều kiện: $x\geq 3$
Khi đó, ta có:
$$x+3<\sqrt{2\left ( x^{2}+10 \right )}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-6x+11>0\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )^{2}+2>0$$
Bất phương trình đã cho trở thành:
$$\sqrt{x^{2}-x-6}+7\sqrt{x}\geq \sqrt{6\left ( x^{2}+5x-2 \right )}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-x-6+49x+14\sqrt{x\left (x^{2}-x-6 \right )}\geq 6x^{2}+30x-12$$
$$\Leftrightarrow -5x^{2}+18x+6+14\sqrt{\left ( x^{2}-3x \right )\left ( x+2 \right )}\geq 0$$
$$-5\left ( x^{2}-3x \right )+14\sqrt{\left ( x^{2}-3x \right )\left ( x+2 \right )}+3\left ( x+2 \right )\geq 0$$
Chia 2 vế cho $x+2>0$ ta được:
$$-5\frac{x^{2}-3x}{x+2}+14\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}+3\geq 0$$
Đặt $\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}=a, (a\geq 0)$
Khi đó:
$$-5a^{2}+14a+3\geq 0\Leftrightarrow \frac{-1}{5}\leq a\leq 3$$
Mà $a\geq 0$, nên:
$$0\leq a\leq 3$$
* Với $a\leq 3$ ta có:
$$\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}\leq 3\Leftrightarrow \frac{x^{2}-3x}{x+2}\leq 9$$
$$\Leftrightarrow 6-3\sqrt{6}\leq x\leq 6+3\sqrt{6}$$
Kết hợp với điều kiện đầu bài ta có:
$$\Leftrightarrow 3\leq x\leq 6+3\sqrt{6}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left [ 3;6+3\sqrt{6} \right ]$
$$\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 6} + 7\sqrt x + \sqrt {6({x^2} + 5x - 2)} }}{{x + 3 - \sqrt {2({x^2} + 10)} }} \le 0$$
Giải.
Điều kiện: $x\geq 3$
Khi đó, ta có:
$$x+3<\sqrt{2\left ( x^{2}+10 \right )}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-6x+11>0\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )^{2}+2>0$$
Bất phương trình đã cho trở thành:
$$\sqrt{x^{2}-x-6}+7\sqrt{x}\geq \sqrt{6\left ( x^{2}+5x-2 \right )}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-x-6+49x+14\sqrt{x\left (x^{2}-x-6 \right )}\geq 6x^{2}+30x-12$$
$$\Leftrightarrow -5x^{2}+18x+6+14\sqrt{\left ( x^{2}-3x \right )\left ( x+2 \right )}\geq 0$$
$$-5\left ( x^{2}-3x \right )+14\sqrt{\left ( x^{2}-3x \right )\left ( x+2 \right )}+3\left ( x+2 \right )\geq 0$$
Chia 2 vế cho $x+2>0$ ta được:
$$-5\frac{x^{2}-3x}{x+2}+14\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}+3\geq 0$$
Đặt $\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}=a, (a\geq 0)$
Khi đó:
$$-5a^{2}+14a+3\geq 0\Leftrightarrow \frac{-1}{5}\leq a\leq 3$$
Mà $a\geq 0$, nên:
$$0\leq a\leq 3$$
* Với $a\leq 3$ ta có:
$$\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}\leq 3\Leftrightarrow \frac{x^{2}-3x}{x+2}\leq 9$$
$$\Leftrightarrow 6-3\sqrt{6}\leq x\leq 6+3\sqrt{6}$$
Kết hợp với điều kiện đầu bài ta có:
$$\Leftrightarrow 3\leq x\leq 6+3\sqrt{6}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left [ 3;6+3\sqrt{6} \right ]$
Bất phương trình vô tỷ 10_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình sau trên tập số thực
$$(x^2+4)\sqrt{2x+4} \le 3x^2+6x-4$$
$$(x^2+4)\sqrt{2x+4} \le 3x^2+6x-4$$
Bất phương trình vô tỷ 9_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$(x-\frac{2x+4}{2x-5})\sqrt{10x-3x^2-3}\geq{0}$$
$$(x-\frac{2x+4}{2x-5})\sqrt{10x-3x^2-3}\geq{0}$$
Bất phương trình vô tỷ 8_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$2\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{2(2x^2-2x+1)}+2x(2x^3-4x^2+3x-1)\geq \frac{7}{4}$$
$$2\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{2(2x^2-2x+1)}+2x(2x^3-4x^2+3x-1)\geq \frac{7}{4}$$
Bất phương trình vô tỷ 7_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$x^3 - \left( {3x^2 - 4x + 4} \right)\sqrt {x - 1} \le 0
$$
$$
Bất phương trình vô tỷ 6_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$2\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right) + \sqrt {1 - x^2 } \le \frac{{x^4 }}{{32}} - x^2 + 5$$
Giải. Điều kiện: $ - 1 \le x \le 1$.
Khi đó đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$, bất phương trình trở thành
$$2t + \frac{{{t^2} - 2}}{2} \le \frac{{{x^4}}}{{32}} - {x^2} + 5 = \frac{1}{2}{\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)^2} + 2\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) - 1$$
$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} + 2t \le \frac{1}{2}{\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)^2} + 2\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)$$
Hàm số $f(u) = \frac{1}{2}{u^2} + 2u$tăng trên $\left( {0, + \infty } \right)$nên bất phương trình tương đương với
$$t \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}$$
Đến đây đặt ẩn phụ là giải quyết trọn vẹn bài toán.
Giải. Điều kiện: $ - 1 \le x \le 1$.
Khi đó đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$, bất phương trình trở thành
$$2t + \frac{{{t^2} - 2}}{2} \le \frac{{{x^4}}}{{32}} - {x^2} + 5 = \frac{1}{2}{\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)^2} + 2\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) - 1$$
$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} + 2t \le \frac{1}{2}{\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)^2} + 2\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)$$
Hàm số $f(u) = \frac{1}{2}{u^2} + 2u$tăng trên $\left( {0, + \infty } \right)$nên bất phương trình tương đương với
$$t \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}$$
Đến đây đặt ẩn phụ là giải quyết trọn vẹn bài toán.
Bất phương trình vô tỷ 5_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình $$\left( {\sqrt x + 6} \right)\sqrt {x\left( {2{x^2} + 26x + 8} \right)} - 4 \ge x\left( {2x +3 \sqrt x + 33} \right)$$
Giải. Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là : $x \ge 0.$
Nhận thấy rằng với $x=0$ bất phương trình đã cho không thỏa. Vậy ta chỉ cần xét $x>0.$
Với điều kiện này ta đặt $t =\sqrt{x}, \ t >0.$ Lúc đó bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : $$t(t+6)\sqrt{2t^4+26t^2+8} \ge 2t^4+3t^3 +33t^2+4 \quad (1)$$ Tiếp tục đặt $u = \sqrt{2t^4+26t^2 +8}, \quad u \ge 2\sqrt{2}.$ Khi đó bất phương trình $(1)$ được viết lại thành bất phương trình tương đương sau :$$t(t+6) \sqrt{2x^2+26t^2+8} \ge (2t^4+26t^2 +8) +3t^3 +7t^2 -4$$$$\Leftrightarrow t(t+6)u \ge u^2 +3t^3+7t^2 -4$$$$\Leftrightarrow u^2 -(t^2+6t)u +3t^3 +7t^2 -4 \le 0 \quad (2)$$ Để ý rằng nếu ta xem phương trình $(2)$ là phương trình bậc hai theo $u$ thì phương trình $(2)$ có biệt số $$\Delta = (t^2+6t)^2-4(3t^3+7t -4)= (t^2+4)^2$$ Khi đó bằng cách suy nghiệm và kết hợp nhân tử ta sẽ đưa được bất phương trình $(2)$ về bất phương trình sau : $$\left ( u - t^2 -3t-2 \right) \cdot \left (u -t +2 \right) \le 0 \quad (3)$$ Chú ý rằng với $t >0$ và $u \ge 2\sqrt{2}$ thì ta có : $u - t +2 \ge 0.$ Do đó bất phương trình $(3)$ tương đương với bất phương trình : $$\sqrt{2t^4+26t^2 +8} \le t^2+3t+2 \Leftrightarrow 2t^4+26t^2+8 \le t^4 +9t^2+4 +6t^3 +4t^2 +6t$$$$\Leftrightarrow t^4 -6t^3+13t^2 -6t +4 \le 0 \Leftrightarrow (t^2-3t+2)^2 \le 0$$$$\Leftrightarrow t^2-3t+2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t=1 \\ t =2 \end{matrix} \right.$$ Với hai giá trị $t$ vừa tìm được ta sẽ có được hai giá trị $x$ tương ứng là $x=1 ; x =4$
Cả hai giá trị này đều thỏa điều kiện của bất phương trình đã cho. Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1; \ x=4 \blacksquare$
Giải. Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là : $x \ge 0.$
Nhận thấy rằng với $x=0$ bất phương trình đã cho không thỏa. Vậy ta chỉ cần xét $x>0.$
Với điều kiện này ta đặt $t =\sqrt{x}, \ t >0.$ Lúc đó bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : $$t(t+6)\sqrt{2t^4+26t^2+8} \ge 2t^4+3t^3 +33t^2+4 \quad (1)$$ Tiếp tục đặt $u = \sqrt{2t^4+26t^2 +8}, \quad u \ge 2\sqrt{2}.$ Khi đó bất phương trình $(1)$ được viết lại thành bất phương trình tương đương sau :$$t(t+6) \sqrt{2x^2+26t^2+8} \ge (2t^4+26t^2 +8) +3t^3 +7t^2 -4$$$$\Leftrightarrow t(t+6)u \ge u^2 +3t^3+7t^2 -4$$$$\Leftrightarrow u^2 -(t^2+6t)u +3t^3 +7t^2 -4 \le 0 \quad (2)$$ Để ý rằng nếu ta xem phương trình $(2)$ là phương trình bậc hai theo $u$ thì phương trình $(2)$ có biệt số $$\Delta = (t^2+6t)^2-4(3t^3+7t -4)= (t^2+4)^2$$ Khi đó bằng cách suy nghiệm và kết hợp nhân tử ta sẽ đưa được bất phương trình $(2)$ về bất phương trình sau : $$\left ( u - t^2 -3t-2 \right) \cdot \left (u -t +2 \right) \le 0 \quad (3)$$ Chú ý rằng với $t >0$ và $u \ge 2\sqrt{2}$ thì ta có : $u - t +2 \ge 0.$ Do đó bất phương trình $(3)$ tương đương với bất phương trình : $$\sqrt{2t^4+26t^2 +8} \le t^2+3t+2 \Leftrightarrow 2t^4+26t^2+8 \le t^4 +9t^2+4 +6t^3 +4t^2 +6t$$$$\Leftrightarrow t^4 -6t^3+13t^2 -6t +4 \le 0 \Leftrightarrow (t^2-3t+2)^2 \le 0$$$$\Leftrightarrow t^2-3t+2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t=1 \\ t =2 \end{matrix} \right.$$ Với hai giá trị $t$ vừa tìm được ta sẽ có được hai giá trị $x$ tương ứng là $x=1 ; x =4$
Cả hai giá trị này đều thỏa điều kiện của bất phương trình đã cho. Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1; \ x=4 \blacksquare$
Bất phương trình vô tỷ 4_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình sau $$\frac{x-3}{3\sqrt{x+1}+x+3}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{x}$$
Giải. Điều kiện: $-1\leq x\leq 9;x\neq 0$
Bất phương trình đã cho tương đương:
$$\frac{x+1-4}{\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )\left ( \sqrt{x+1}+2 \right )}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{x+1-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-2}{1}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-2}{1}-\frac{2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x+1-3\sqrt{x+1}+2-2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}\left ( \sqrt{x+1} -3\right )+2\left ( 1-\sqrt{9-x} \right )}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}\dfrac{x-8}{\sqrt{x+1}+3}+2\dfrac{x-8}{1+\sqrt{9-x}}}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-8}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-8}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x-8}{x}\geq 0$$
$\Leftrightarrow x\geq 8$ hoặc $x< 0$
Giải. Điều kiện: $-1\leq x\leq 9;x\neq 0$
Bất phương trình đã cho tương đương:
$$\frac{x+1-4}{\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )\left ( \sqrt{x+1}+2 \right )}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{x+1-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-2}{1}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-2}{1}-\frac{2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x+1-3\sqrt{x+1}+2-2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}\left ( \sqrt{x+1} -3\right )+2\left ( 1-\sqrt{9-x} \right )}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}\dfrac{x-8}{\sqrt{x+1}+3}+2\dfrac{x-8}{1+\sqrt{9-x}}}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-8}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-8}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x-8}{x}\geq 0$$
$\Leftrightarrow x\geq 8$ hoặc $x< 0$
Bất phương trình vô tỷ 3_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\sqrt {4{x^2} + 4x - 2} + \frac{{3x}}{2} \ge 1 + \sqrt {\frac{{25}}{2}{x^2} + 2x - 2} $$
$$\sqrt {4{x^2} + 4x - 2} + \frac{{3x}}{2} \ge 1 + \sqrt {\frac{{25}}{2}{x^2} + 2x - 2} $$
Thứ Ba, 18 tháng 6, 2013
Bất phương trình vô tỷ 2_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình
$$\frac{2}{x} \ge \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1 - x} \right)$$
Bất phương trình vô tỷ 1_LTĐH
Bài toán. Giải bất phương trình \[\sqrt{2x^4-2x^3+x^2}\leq 2\left(\sqrt{x^2-x+1}-1\right)+x\]
Giải.
Lời giải 1:
Bất phương trình tương đương với
$$\left| x \right|\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \le \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 1 + 1} + 1}} + x$$
Nhận thấy hai nghiệm $x = 0;x = 1$thỏa mãn bất phương trình.
Trường hợp 1:
Với $\left[ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x > 1
\end{array} \right.$khi đó bất phương trình tương đương với
$$\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \le \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1$$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 < \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{2} + 1 = x\\
\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} > x
\end{array} \right.$, nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2:
Với $x < 0$ khi đó bất phương trình tương đương với
$$ - \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \ge \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 + \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \le 0$$
Mặt khác ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 > \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{2} + 1 = x\\
\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} > - x
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 + \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} > 0$, nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
Vậy bất phương trình có hai nghiệm là $x \in \left\{ {0,1} \right\}$.
Lời giải 2:
Ta thấy $x=0$ thỏa bất phương trình đã cho.
Với $x\neq 0$, ta có
\[\begin{split}&\sqrt{2x^4-2x^3+x^2}\leq \left(2\sqrt{x^2-x+1}+x-2\right)\\
\Leftrightarrow&\left(2\sqrt{x^2-x+1}-x+2\right)\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\leq 3
\end{split}\]
Xét hàm số: $f(x)=2\sqrt{x^2-x+1}-x+2$, dễ dàng tìm được $\min{f(x)}=f(1)=3$
Mặt khác, $\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\geq 1$, dấu "=" xảy ra tại $x=1$
Do đó: $$\left(2\sqrt{x^2-x+1}-x+2\right)\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\geq 3$$.
Giải.
Lời giải 1:
Bất phương trình tương đương với
$$\left| x \right|\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \le \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 1 + 1} + 1}} + x$$
Nhận thấy hai nghiệm $x = 0;x = 1$thỏa mãn bất phương trình.
Trường hợp 1:
Với $\left[ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x > 1
\end{array} \right.$khi đó bất phương trình tương đương với
$$\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \le \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1$$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 < \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{2} + 1 = x\\
\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} > x
\end{array} \right.$, nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2:
Với $x < 0$ khi đó bất phương trình tương đương với
$$ - \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \ge \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 + \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} \le 0$$
Mặt khác ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 > \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{2} + 1 = x\\
\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} > - x
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}} + 1 + \sqrt {2{x^2} - 2x + 1} > 0$, nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
Vậy bất phương trình có hai nghiệm là $x \in \left\{ {0,1} \right\}$.
Lời giải 2:
Ta thấy $x=0$ thỏa bất phương trình đã cho.
Với $x\neq 0$, ta có
\[\begin{split}&\sqrt{2x^4-2x^3+x^2}\leq \left(2\sqrt{x^2-x+1}+x-2\right)\\
\Leftrightarrow&\left(2\sqrt{x^2-x+1}-x+2\right)\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\leq 3
\end{split}\]
Xét hàm số: $f(x)=2\sqrt{x^2-x+1}-x+2$, dễ dàng tìm được $\min{f(x)}=f(1)=3$
Mặt khác, $\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\geq 1$, dấu "=" xảy ra tại $x=1$
Do đó: $$\left(2\sqrt{x^2-x+1}-x+2\right)\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\geq 3$$.
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)