Hệ phương trình 3_LTĐH

Bài toán. Tìm tất cả các nghiệm thực của hệ phương trình sau
$$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$$
Giải.
Lời giải 1:
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9x{y^3} - 24{y^2} + \left( {27{x^2} + 40} \right)y + 3x - 16 = 0}\\
{{y^2} + \left( {9x - 10} \right)y + 3\left( {x + 3} \right) = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {9xy + 9} \right) + \left( {{y^2} + 3x} \right) = 10y\\
9xy\left( {{y^2} + 3x} \right) + 3x + {y^2} = 25{y^2} - 40y + 16
\end{array} \right.\\
\end{array}\]
Đặt $a=9xy+9$ và $b=y^2+3x$. Ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 10y\\
\left( {a - 9} \right)b + b = 25{y^2} - 40y + 16
\end{array} \right.\]
Từ phương trình đầu ta có: $a=10y-b$ thế vào phương trình thứ hai ta được:\[\left( {10y - b - 9} \right)b + b - \left( {25{y^2} - 40y + 16} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 10yb - {b^2} - 8b - \left( {25{y^2} - 40y + 16} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow {b^2} - 2b\left( {5y - 4} \right) + {\left( {5y - 4} \right)^2} = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {b - \left( {5y - 4} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow b = 5y - 4\]
Ta có:
$$y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0$$ $$\Leftrightarrow y^2-10y+9+3x(3y+1)=0$$ $$\Leftrightarrow (y-1)(y-9)+(-y^2+5y-4)(3y+1)=0$$

Lời giải 2:

Hướng thứ nhất, để ý phương trình thứ hai của hệ ta có thể rút $x$ theo $y$ được, do vậy ta sẽ nghĩ đến phép thế, tuy nhiên sẽ rất đến phương trình bậc sáu với ẩn là $y$, bắt buộc các bạn phải nhẩm được nghiệm.
Hướng thứ hai, thấy phần tử $3x$ ở hai phương trình của hệ nên ta nghĩ đến việc loại bỏ phần tử này đi, tức trừ theo vế hai phương trình của hệ.

Dưới đây xin trình bày lời giải theo hướng thứ hai:


Trừ hai vế phương trình của hệ ta được phương trình:
$$9xy\left( {{y^2} - 1 + 3x} \right) - 25{\left( {{y^2} - 2y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 9xy\left( {{y^2} + 3x - 1} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2} (1) $$
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được: $$3x\left( {3y + 1} \right) =  - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)$$
Nhận thấy $y =  - \frac{1}{3}$ không thỏa mãn hệ, nên ta sẽ nhân vào hai vế của phương trình (1) với đại lượng ${\left( {3y + 1} \right)^2}$, đưa về phương trình:
$$9x\left( {3y + 1} \right)y\left( {{y^2}\left( {3y + 1} \right) + 3x\left( {3y + 1} \right) - \left( {3y + 1} \right)} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$, đến đây thay $$3x\left( {3y + 1} \right) =  - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)$$ vào ta được:
$$ - 3y\left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right)\left( {{y^2}\left( {3y + 1} \right) - \left( {y - 1} \right)\left( {y - 9} \right) - 3y - 1} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$
$$ \Leftrightarrow  - 3y{\left( {y - 1} \right)^2}\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 25{\left( {y - 1} \right)^2}{\left( {3y + 1} \right)^2}$$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
25{\left( {3y + 1} \right)^2} + 3y\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 0
\end{array} \right.$$
Ta giải phương trình: $$25{\left( {3y + 1} \right)^2} + 3y\left( {y - 9} \right)\left( {3{y^2} + 3y + 10} \right) = 0$$, rút gọn ta được:
$$ \Leftrightarrow 9{y^4} - 72{y^3} + 174{y^2} - 120y + 25 = 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {3{y^2} - 12y} \right)^2} + 10\left( {3{y^2} - 12y} \right) + 25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {3{y^2} - 12y + 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{6 \pm \sqrt {21} }}{3}$$
Từ đó suy ra giá trị của $x$

Lời giải 3:

Ta biến đổi hệ phương trình thành dạng :
$$\begin{cases} 9xy^3+27x^2y-24y^2+40y+3x-16=0\\ y^2+3x+9xy-10y+9=0 \end{cases}$$
Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 ta được hệ tương đương
$$\begin{cases} 9xy(y^3+3x-1)=25(y-1)^2 \\ y^2+3x-1 +9xy = 10(y-1) \end{cases}$$
Đặt : $\begin{cases} a=9xy \\ b=y^2+3x-1 \end{cases}$
Khi đó hệ trở thành hệ : $$\begin{cases} ab=25(y-1)^2 \\  a+b =10(y-1) \end{cases}$$