Bất phương trình vô tỷ 1_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình \[\sqrt{2x^4-2x^3+x^2}\leq 2\left(\sqrt{x^2-x+1}-1\right)+x\]
Giải.
Lời giải 1:
Bất phương trình tương đương với

$$\left| x \right|\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  \le \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 1 + 1}  + 1}} + x$$
Nhận thấy hai nghiệm $x = 0;x = 1$thỏa mãn bất phương trình.

Trường hợp 1:

Với $\left[ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x > 1
\end{array} \right.$khi đó bất phương trình tương đương với
$$\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  \le \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}} + 1$$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}} + 1 < \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{2} + 1 = x\\
\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  > x
\end{array} \right.$, nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2:

Với $x < 0$ khi đó bất phương trình tương đương với
$$ - \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  \ge \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}} + 1 + \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  \le 0$$
Mặt khác ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}} + 1 > \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{2} + 1 = x\\
\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  >  - x
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}} + 1 + \sqrt {2{x^2} - 2x + 1}  > 0$, nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.

Vậy bất phương trình có hai nghiệm là $x \in \left\{ {0,1} \right\}$.

Lời giải 2:

Ta thấy $x=0$ thỏa bất phương trình đã cho.
Với $x\neq 0$, ta có
\[\begin{split}&\sqrt{2x^4-2x^3+x^2}\leq \left(2\sqrt{x^2-x+1}+x-2\right)\\
\Leftrightarrow&\left(2\sqrt{x^2-x+1}-x+2\right)\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\leq 3
\end{split}\]
Xét hàm số: $f(x)=2\sqrt{x^2-x+1}-x+2$, dễ dàng tìm được $\min{f(x)}=f(1)=3$
Mặt khác, $\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\geq 1$, dấu "=" xảy ra tại $x=1$
Do đó: $$\left(2\sqrt{x^2-x+1}-x+2\right)\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^2}\geq 3$$.