Bất phương trình vô tỷ 55_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\frac{{\sqrt {5{x^2} - 26x - 44}  - \sqrt {{x^2} + x - 2}  - \sqrt {x - 6} }}{{6 - \sqrt {{x^3} - 6{x^2} + 2x} }} < 0$$.
Giải. Điều kiện: $x \ge \frac{{13 + \sqrt {389} }}{5}$.
Khi đó hàm số $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 2x$ tăng trên $\left[ {\frac{{13 + \sqrt {389} }}{5}; + \infty } \right)$.
Suy ra $6 - \sqrt {{x^3} - 6{x^2} + 2x}  \le 6 - \sqrt {f\left( {\frac{{13 + \sqrt {389} }}{5}} \right)}  < 0$.
Khi đó bất phương trình tương đương với:
$$\sqrt {5{x^2} - 26x - 44}  - \sqrt {{x^2} + x - 2}  - \sqrt {x - 6}  > 0$$
$$ \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} - 26x - 44}  > \sqrt {x - 6}  + \sqrt {{x^2} + x - 2} $$
$$ \Leftrightarrow 5{x^2} - 26x - 44 > x - 6 + {x^2} + x - 2 + 2\sqrt {\left( {x - 6} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x - 18 > \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - 12} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 4x - 12} \right) - 6\left( {x - 1} \right) > \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - 12} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow 2.\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}} - 6 > \sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}}} $$
$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}}}  - 2} \right)\left( {2\sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}} + 3} } \right) > 0$$
$$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{x - 1}}}  > 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 > 4\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 8 > 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} > 24 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 4 + 2\sqrt 6 \\
x < 4 - 2\sqrt 6
\end{array} \right.$$
Kết hợp với điều kiện suy ra $x > 4 + 2\sqrt 6 $.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {4 + 2\sqrt 6 ; + \infty } \right)$.