Hệ phương trình 5_LTĐH

Bài toán. Giải hệ phương trình 
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 - 16{y^2}}  - \sqrt {1 - 16{x^2}}  = 2\left( {x + y} \right)\\
{x^2} + {y^2} + 4xy = \frac{1}{5}
\end{array} \right.$

Giải. Điều kiện $\left| x \right| \le \frac{1}{4},\left| y \right| \le \frac{1}{4}$. Khi đó nhân liên hợp biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng
$16\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 2\left( {x + y} \right)\left( {\sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}} } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - y\\
8\left( {x - y} \right) = \sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}}
\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: Với $x =  - y$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có phương trình:
$2{x^2} - 4{x^2} = \frac{1}{5}$, phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

Trường hợp 2: Với $8\left( {x - y} \right) = \sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}} $, khi đó cùng với phương trình thứ hai của hệ ta đưa về giải hệ:
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 4xy = \frac{1}{5}\\
8\left( {x - y} \right) = \sqrt {1 - 16{y^2}}  + \sqrt {1 - 16{x^2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + 4xy = \frac{1}{5}\\
x \ge y\\
64{\left( {x - y} \right)^2} = 2 - 16\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\sqrt {1 - 16\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5} - 4xy\\
x \ge y\\
64\left( {\frac{1}{5} - 6xy} \right) = 2 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 2\sqrt {1 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right.$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5} - 4xy\\
x \ge y\\
7 - 240xy = \sqrt {1 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5} - 4xy\\
x \ge y\\
xy \le \frac{7}{{240}}\\
7 - 240xy = \sqrt {1 - 16\left( {\frac{1}{5} - 4xy} \right) + 256{x^2}{y^2}}
\end{array} \right.$.

Đến đây đơn giản rồi!