Bất phương trình vô tỷ 41_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình

$${\left( {x + 4} \right)^2} - 6\sqrt {{x^3} + 3x}  \le 13$$

Giải. Điều kiện: $x \ge 0$.
Nhận thấy $x = 0$ không thỏa mãn bất phương trình, do vậy $x > 0$ ta chia hai vế của bất phương trình cho $x$ ta được

$${\left( {x + 4} \right)^2} - 6\sqrt {{x^3} + 3x}  \le 13 \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 3 \le 6\sqrt {{x^3} + 3x}  \Leftrightarrow x + 8 + \frac{3}{x} \le 6\sqrt {\frac{3}{x} + x} $$

Đặt $t = \sqrt {x + \frac{3}{x}} $, bất phương trình trở thành:
$${t^2} + 8 - 6t \le 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow 2 \le t \le 4 \Leftrightarrow 2 \le \sqrt {x + \frac{3}{x}}  \le 4$$

$$ \Leftrightarrow 4 \le x + \frac{3}{x} \le 16 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 16x + 3 \le 0\\
{x^2} - 4x + 3 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le 8 - \sqrt {61} \\
x \ge 8 + \sqrt {61}
\end{array} \right.$$

Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0,8 - \sqrt {61} } \right] \cup \left[ {8 + \sqrt {61} , + \infty } \right)$.