Bất phương trình vô tỷ 40_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$45{x^3} - 17{x^2} - 37x + 25 \ge 4\sqrt {\left( {x + 1} \right){{\left( {5x - 3} \right)}^3}} $$

Giải. Để bất phương trình có nghiệm ta phải có
$$45{x^3} - 17{x^2} - 37x + 25 = \left( {x + 1} \right)\left( {45{x^2} - 62x + 25} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1$$

Khi đó điều kiện của bất phương trình là
$$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 1\\
\left( {x + 1} \right){\left( {5x - 3} \right)^3} \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x \ge \frac{3}{5}
\end{array} \right.$$

Nhận thấy $x =  - 1;x = \frac{3}{5}$ thỏa mãn bất phương trình.

Ta xét $x > \frac{3}{5}$, khi đó bất phương trình tương đương với
\[\frac{{45{x^2} - 62x + 25}}{{5x - 3}} \ge 4\sqrt {\frac{{5x - 3}}{{x + 1}}} {\rm{ }}(1)\].
Ta đặt $t = \sqrt {\frac{{5x - 3}}{{x + 1}}} ,t \in \left( {0,\sqrt 5 } \right) \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}}$, khi đó bất phương trình $(1)$trở thành

$$\frac{{45.{{\left( {\frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}}} \right)}^2} - 62.\frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}} + 25}}{{5.\frac{{{t^2} + 3}}{{5 - {t^2}}} - 3}} \ge 4t \Leftrightarrow \frac{{132{t^4} - 104{t^2} + 100}}{{ - 8{t^4} + 40{t^2}}} \ge 4t$$

$$ \Leftrightarrow 32{t^5} + 132{t^4} - 160{t^3} - 104{t^2} + 100 \ge 0$$

Đến đây ta xét hàm số $f(t) = 32{t^5} + 132{t^4} - 160{t^3} - 104{t^2} + 100$ trên khoảng $\left( {0,\sqrt 5 } \right)$.

Ta có $f'(t) = 160{t^4} + 528{t^3} - 480{t^2} - 208t = 16t\left( {t - 1} \right)\left( {10{t^2} + 43t + 13} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Lập bảng biến thiên suy ra $f(t) \ge f(1) = 0$. Do đó bất phương trình luôn đúng với $t \in \left( {0,\sqrt 5 } \right)$hay là luôn đúng với $x > \frac{3}{5}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ { - 1} \right\} \cup \left[ {\frac{3}{5}, + \infty } \right)$.