Bất phương trình vô tỷ 11_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình sau
$$\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 6}  + 7\sqrt x  + \sqrt {6({x^2} + 5x - 2)} }}{{x + 3 - \sqrt {2({x^2} + 10)} }} \le 0$$

Giải.
Điều kiện: $x\geq 3$
Khi đó, ta có:
$$x+3<\sqrt{2\left ( x^{2}+10 \right )}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-6x+11>0\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )^{2}+2>0$$
Bất phương trình đã cho trở thành:
$$\sqrt{x^{2}-x-6}+7\sqrt{x}\geq \sqrt{6\left ( x^{2}+5x-2 \right )}$$
$$\Leftrightarrow x^{2}-x-6+49x+14\sqrt{x\left (x^{2}-x-6 \right )}\geq 6x^{2}+30x-12$$
$$\Leftrightarrow -5x^{2}+18x+6+14\sqrt{\left ( x^{2}-3x \right )\left ( x+2 \right )}\geq 0$$
$$-5\left ( x^{2}-3x \right )+14\sqrt{\left ( x^{2}-3x \right )\left ( x+2 \right )}+3\left ( x+2 \right )\geq 0$$
Chia 2 vế cho $x+2>0$ ta được:
$$-5\frac{x^{2}-3x}{x+2}+14\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}+3\geq 0$$
Đặt $\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}=a, (a\geq 0)$
Khi đó:
$$-5a^{2}+14a+3\geq 0\Leftrightarrow \frac{-1}{5}\leq a\leq 3$$
Mà $a\geq 0$, nên:
$$0\leq a\leq 3$$
* Với $a\leq 3$ ta có:
$$\sqrt{\frac{x^{2}-3x}{x+2}}\leq 3\Leftrightarrow \frac{x^{2}-3x}{x+2}\leq 9$$
$$\Leftrightarrow 6-3\sqrt{6}\leq x\leq 6+3\sqrt{6}$$
Kết hợp với điều kiện đầu bài ta có:
$$\Leftrightarrow 3\leq x\leq 6+3\sqrt{6}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left [ 3;6+3\sqrt{6} \right ]$