Bất phương trình vô tỷ 28_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\dfrac{\sqrt{x}(x+\sqrt{1-x^2})}{x\sqrt{x}+1-\sqrt{x^2-x^3}}\geq 1$$

Giải. Điều kiện: $0 \le x \le 1$
Khi đó $x\sqrt x  + 1 - \sqrt {{x^2} - {x^3}}  \ge x\sqrt x  + 1 - \sqrt {{x^2}}  = x\sqrt x  + 1 - x > 0$ với $0 \le x \le 1$
Bất phương trình lúc này trở thành:
$$\sqrt x \left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right) \ge x\sqrt x  + 1 - \sqrt {{x^2} - {x^3}}  \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - {x^3}}  \ge 1 - \sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow {x^2} - {x^3} \ge 1 + x\left( {1 - {x^2}} \right) - 2\sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)}  \Leftrightarrow x + 1 - {x^2} - 2\sqrt {x\left( {1 - {x^2}} \right)}  \le 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - \sqrt x } \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt x  \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$$, do $0 \le x \le 1$
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$.