Bất phương trình vô tỷ 30_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình
$$\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4}-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4} \right)\ge 5$$

Giải. Điều kiện: $\ x^2 \ge 1$
Đặt: $\ t=x^2 (t \ge 1)$. Khi đó ta có: $$(\sqrt{t+4}-\sqrt{t-1})(1+\sqrt{t^2+3t-4}) \ge 5$$ Ta có, bất phương trình đã cho tương đương với: $$1+\sqrt{(t+4)(t-1)} \ge \sqrt{t+4}+\sqrt{t-1}$$ Bình phương 2 vế ta được: $$1+2\sqrt{(t+4)(t-1)}+t^2+3t-4 \ge 2t+3+2\sqrt{(t+4)(t-1)}$$$$ \Leftrightarrow  t^2+t -6 \ge 0 \Leftrightarrow  (t+3)(t-2) \ge 0$$ Với điều kiện ta suy ra: $\ t \ge 2$