Bất phương trình vô tỷ 31_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình sau $$\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}\quad (x \in \mathbb{R}).$$

Giải. Điều kiện:[/B][/U] $ - 1 \le x \le 1$.
Ta đặt $t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  \ge 2 \Rightarrow t \ge \sqrt 2 $
và từ đây ta rút được \[{x^2} = 1 - {\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)^2}\].
Khi đó bất phương trình trở thành:
$t \le 2 - \frac{{1 - {{\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} - 16t + 32 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2}\left( {{t^2} + 4t + 8} \right) \ge 0$
Bất phương trình cuối luôn đúng  với $t \ge \sqrt 2 $ , từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = \left[ { - 1;1} \right]$.