Bất phương trình vô tỷ 32_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình
$$\left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \geqslant 4$$

Giải. Điều kiện: $\ x \ge 1$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $$\left( {\sqrt {x + 3}  +\sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \geqslant 4\left( {\sqrt {x + 3}  +\sqrt {x - 1} } \right)$$ $$\Leftrightarrow  4\left( {x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} } \right) \ge 4\left( {\sqrt {x + 3}  +\sqrt {x - 1} } \right)$$  $$\Leftrightarrow  x - 3 + \sqrt {{x^2} + 2x - 3 }\ge \sqrt {x + 3}  +\sqrt {x - 1} $$ Đặt: $\ t=\sqrt {x + 3}  +\sqrt {x - 1} \,\ (t \ge 2)$..
Ta có: $$t^2=2x+2+2\sqrt{(x-1)(x+3)}  \Leftrightarrow  x-3+\sqrt {{x^2} + 2x - 3 }=\dfrac{t^2-8}{2}$$ Thay vào trên ta được: $$\dfrac{t^2-8}{2} \ge t \Leftrightarrow  (t-4)(t+2) \ge 0 \Leftrightarrow  t \ge 4$$ Vậy ta cần giải bất phương trình cơ bản sau đây: $$f(x)=\sqrt {x + 3}  +\sqrt {x - 1} \ge 4$$ Dễ thấy $\ VT$ là một hàm đồng biến, mà ta nhẩm được $\ f\left(\dfrac{13}{4} \right)=4$, nên nghiệm của bất phương trình chính là: $\ x \ge \dfrac{13}{4}$.