Bất phương trình vô tỷ 44_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình
$${x^2} - 3x + 3 \ge \left( {4 + 3x - \frac{4}{x}} \right)\sqrt {x - 1} $$

Giải. Điều kiện $x \ge 1$, chiaw hai vế bất phương trình cho ${x^2} > 0$ ta được
$$1 - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \ge \left( {4\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3} \right)\sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} $$
Đến đây ta đặt $t = \sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}  \ge 0$, đưa về bất phương trình $$1 - 3{t^2} \ge t\left( {4{t^2} + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {4t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow t \le \frac{1}{4}$$

$$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}  \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \ge 0$$, luôn đúng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1; + \infty } \right)$