Bất phương trình vô tỷ 53_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình

$$\frac{{\sqrt {x + 24}  + \sqrt x }}{{\sqrt {x + 24}  - \sqrt x }} < \frac{{27\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}}{{8\left( {12 + x + \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}}$$

Giải. Điều kiện: $x \ge 0$. Khi đó trục căn thức đưa bất phương trình về dạng:
$$\frac{{{{\left( {\sqrt {x + 24}  + \sqrt x } \right)}^2}}}{{24}} < \frac{{27{{\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)}^2}}}{{{{8.12}^2}}}$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right)^2} > \frac{{16}}{9}{\left( {\sqrt {x + 24}  + \sqrt x } \right)^2} \Leftrightarrow 3\left( {12 + x - \sqrt {{x^2} + 24x} } \right) > 4\left( {\sqrt {x + 24}  + \sqrt x } \right)$$
$$ \Leftrightarrow 3\left( {24 + 2x - 2\sqrt {{x^2} + 24} } \right) > 8\left( {\sqrt {x + 24}  + \sqrt x } \right) \Leftrightarrow 3{\left( {\sqrt {x + 24}  - \sqrt x } \right)^2} > \frac{{8.24}}{{\sqrt {x + 24}  - \sqrt x }}$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 24}  - \sqrt x } \right)^3} > {8^2} \Leftrightarrow \sqrt {x + 24}  - \sqrt x  > 4 \Leftrightarrow \sqrt {x + 24}  > \sqrt x  + 4$$
$$ \Leftrightarrow x + 24 > x + 16 + 8\sqrt x  \Leftrightarrow x < 1$$.
 Kết hợp với điều kiện suy ra $0 \le x < 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {0,1} \right)$.