Bất phương trình vô tỷ 6_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$2\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} } \right) + \sqrt {1 - x^2 }  \le \frac{{x^4 }}{{32}} - x^2  + 5$$

Giải. Điều kiện: $ - 1 \le x \le 1$.
Khi đó đặt $t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$, bất phương trình trở thành

$$2t + \frac{{{t^2} - 2}}{2} \le \frac{{{x^4}}}{{32}} - {x^2} + 5 = \frac{1}{2}{\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)^2} + 2\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) - 1$$

$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} + 2t \le \frac{1}{2}{\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)^2} + 2\left( {2 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)$$

Hàm số $f(u) = \frac{1}{2}{u^2} + 2u$tăng trên $\left( {0, + \infty } \right)$nên bất phương trình tương đương với
$$t \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}$$

Đến đây đặt ẩn phụ là giải quyết trọn vẹn bài toán.