Bất phương trình vô tỷ 5_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\left( {\sqrt x  + 6} \right)\sqrt {x\left( {2{x^2} + 26x + 8} \right)}  - 4 \ge x\left( {2x +3 \sqrt x  + 33} \right)$$

Giải. Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là  : $x \ge 0.$
Nhận thấy rằng với $x=0$ bất phương trình đã cho không thỏa. Vậy ta chỉ cần xét $x>0.$
Với điều kiện này ta đặt $t =\sqrt{x}, \ t >0.$ Lúc đó bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : $$t(t+6)\sqrt{2t^4+26t^2+8} \ge 2t^4+3t^3 +33t^2+4 \quad (1)$$ Tiếp tục đặt $u = \sqrt{2t^4+26t^2 +8}, \quad  u \ge 2\sqrt{2}.$ Khi đó bất phương trình $(1)$ được viết lại thành bất phương trình tương đương sau :$$t(t+6) \sqrt{2x^2+26t^2+8} \ge (2t^4+26t^2 +8) +3t^3 +7t^2 -4$$$$\Leftrightarrow t(t+6)u \ge u^2 +3t^3+7t^2 -4$$$$\Leftrightarrow u^2 -(t^2+6t)u +3t^3 +7t^2 -4 \le 0  \quad (2)$$ Để ý rằng nếu ta xem phương trình $(2)$ là phương trình bậc hai theo $u$ thì phương trình $(2)$ có biệt số $$\Delta = (t^2+6t)^2-4(3t^3+7t -4)= (t^2+4)^2$$ Khi đó bằng cách suy nghiệm và kết hợp nhân tử ta sẽ đưa được bất phương trình $(2)$ về bất phương trình sau : $$\left ( u - t^2 -3t-2 \right) \cdot \left (u -t +2 \right) \le 0 \quad (3)$$ Chú ý rằng với $t >0$ và $u \ge 2\sqrt{2}$ thì ta có : $u - t +2 \ge 0.$ Do đó bất phương trình $(3)$ tương đương với bất phương trình : $$\sqrt{2t^4+26t^2 +8} \le t^2+3t+2 \Leftrightarrow 2t^4+26t^2+8 \le t^4 +9t^2+4 +6t^3 +4t^2 +6t$$$$\Leftrightarrow t^4 -6t^3+13t^2 -6t +4 \le 0 \Leftrightarrow (t^2-3t+2)^2 \le 0$$$$\Leftrightarrow t^2-3t+2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t=1 \\ t =2 \end{matrix} \right.$$ Với hai giá trị $t$ vừa tìm được ta sẽ có được hai giá trị $x$ tương ứng là $x=1 ;  x =4$
Cả hai giá trị này đều thỏa điều kiện của bất phương trình đã cho. Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1; \  x=4 \blacksquare$