Bất phương trình vô tỷ _LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} }} > x$$

Điều kiện $x \in \left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{5}{3}} } \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{5}{3}} ; + \infty } \right)$.
Khi đó biến đổi bất phương trình trở thành
$$\sqrt {{x^2} + 1}  - x > \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} > \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} }} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + x < \sqrt {{x^2} - \frac{5}{3}} $$
$$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  + \frac{8}{3} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{8}{3} <  - 2x\sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^4} + \frac{{64}}{9} + \frac{{16}}{3}{x^2} < 4{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)
\end{array} \right.$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
3{x^4} - \frac{4}{3}{x^2} - \frac{{64}}{9} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
\left( {3{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} - \frac{{16}}{9}} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - \frac{4}{3}$$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $x <  - \frac{4}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right)$