Bất phương trình vô tỷ _LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình
$$x\left(x^{2}+4 \right)+\left(\sqrt{x-1}+1 \right)^{2}\geq \left(x^{2}+1 \right)\sqrt{10-x}$$

Điều kiện $1 \le x \le 10$.

Khi đó biến đổi bất phương trình thành: $${x^3} + 5x + 2\sqrt {x - 1}  \ge \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {10 - x} $$
Sử dụng cô si cho vế phải ta được
$$VP = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {10 - x}  = \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\sqrt {9\left( {10 - x} \right)}  \le \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\frac{{9 + 10 - x}}{2} = \frac{{\left( {19 - x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{6}$$
Suy ra $$VT - VP \ge \frac{{6{x^3} + 30x - \left( {19{x^2} + 19 - {x^3} - x} \right)}}{6} + 2\sqrt {x - 1}  = \frac{{7{x^3} - 19{x^2} + 31x - 19}}{6} + 2\sqrt {x - 1} $$
$$ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {7{x^2} - 12x + 19} \right)}}{6} + 2\sqrt {x - 1}  \ge 0,\forall x \ge 1$$
 Do đó bất phương trình luôn đúng với $x \ge 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;10} \right]$.