Bất phương trình vô tỷ 48_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình $$\left( {{x^2} + 4} \right)\sqrt {2x + 4}  \le 3{x^2} + 6x - 4$$.

Giải. ĐK:$x \ge  - 2$
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + 4} \right)^2}\left( {2x + 4} \right) \le {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)^2}\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x + 3} \right){\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)^2} \le 0\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
2x + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
3{x^2} + 6x - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
2x + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt {21}  - 3}}{3}\\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 5 \\
x = 1 - \sqrt 5
\end{array} \right.\\
x \le \frac{{ - 3}}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{\sqrt {21}  - 3}}{3}\\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Vẽ trục số ra ta có được:$\left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 5 \\
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{3}
\end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1+\sqrt{5}$