Bất phương trình vô tỷ 4_LTĐH

Bài toán. Giải bất phương trình sau $$\frac{x-3}{3\sqrt{x+1}+x+3}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{x}$$

Giải. Điều kiện: $-1\leq x\leq 9;x\neq 0$
Bất phương trình đã cho tương đương:
$$\frac{x+1-4}{\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )\left ( \sqrt{x+1}+2 \right )}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{x+1-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-2}{1}\geq \frac{2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-2}{1}-\frac{2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x+1-3\sqrt{x+1}+2-2\sqrt{9-x}}{\sqrt{x+1}-1}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}\left ( \sqrt{x+1} -3\right )+2\left ( 1-\sqrt{9-x} \right )}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}\dfrac{x-8}{\sqrt{x+1}+3}+2\dfrac{x-8}{1+\sqrt{9-x}}}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-8}{\sqrt{x+1}-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{x-8}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x-8}{x}\geq 0$$
$\Leftrightarrow x\geq 8$ hoặc $x< 0$