Tích phân 1_LTĐH

Bài toán . Tính tích phân:
$$ \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}}\dfrac{lnx}{x^2+1+x\sqrt{x^2+2}}dx $$
Bài toán này nhìn đẹp mắt và việc giải quyết nó cũng không khó khăn lắm, nhưng với thi đại học thì hơi nặng với các em

Chỉ cần để ý ${\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)^2} = 1$
Suy ra \[I = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)\ln xdx} \]
Có dạng quen thuộc của tích phân từng phần, chúng ta đặt như sau:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \int {\left( {{x^2} + 1 - x\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx}  = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x - \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right)
\end{array} \right.$.
Suy ra $I = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x - \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right).\ln x\left| \begin{array}{l}
\sqrt 6 \\
\sqrt 2
\end{array} \right. - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\left( {\frac{{{x^2}}}{3} + 1 - \frac{{{x^2} + 2}}{{3x}}.\sqrt {{x^2} + 2} } \right)dx} $.
Ta chỉ cần chú ý tích phân  \[\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 6 } {\frac{{{x^2} + 2}}{{3x}}.\sqrt {{x^2} + 2} dx} \], bằng phép đặt $t = \sqrt {{x^2} + 2} $là xong.